【課題学習のテーマ】２つの合同な図形をどのように配置したとき，回転移動１回だけで重ねられるか

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次の条件を満たす２線分 $\rm AB,\ A’B’$ が，
回転移動１回で重ねられるかどうかを考えています。

• ２線分 $\rm AB,\ A’B’$ は長さが等しい。
• ２点 $\rm A,\ A’$ は一致しない。
  ２点 $\rm B,\ B’$ も一致しない。
• ２直線 $\rm AA’,\ BB’$ は平行でも同一でもない。

複素数平面上で，４点 $\rm A(\alpha),\ B(\beta),\ A'(\alpha\,’),\ B(\beta\,’)$ が
上の条件を満たすとき，
２線分 $\rm AA’,\ BB’$ の垂直二等分線には
ただ１つの交点が存在します。

それを $\rm C(\gamma)$ とおくと，次の式が成り立ちます。

• $|\,\alpha-\beta\,|=|\,\alpha\,’-\beta\,’\,|$ …… ①
• $|\,\alpha-\gamma\,|=|\,\alpha\,’-\gamma\,|$ …… ②
• $|\,\beta-\gamma\,|=|\,\beta\,’-\gamma\,|$ …… ③

このとき，$\angle\,\alpha\,\gamma\,\alpha\,’=\angle\,\beta\,\gamma\,\beta\,’$ が成り立つかどうかを
調べたいのですが，これは

$\arg\dfrac{\alpha\,’-\gamma}{\alpha-\gamma}=\arg\dfrac{\beta\,’-\gamma}{\beta-\gamma}$ …… ④

と同値ですので，④が成り立つかどうかを
調べればよいことになります。

ただ，このままでは式の扱いが難しいので，
$\alpha-\gamma=\alpha_\gamma\,$，$\beta-\gamma=\beta_\gamma\,$，
$\alpha\,’-\gamma=\alpha\,’_\gamma\,$，$\beta\,’-\gamma=\beta\,’_\gamma$ のように，
記号を置き換えます。

それによって，①～④は，次のように書き換えられます。

• $|\,\alpha_\gamma-\beta_\gamma\,|=|\,\alpha\,’_\gamma-\beta\,’_\gamma\,|$ …… ①$’$
• $|\,\alpha_\gamma\,|=|\,\alpha\,’_\gamma\,|$ …… ②$’$
• $|\,\beta_\gamma\,|=|\,\beta\,’_\gamma\,|$ …… ③$’$
• $\arg\dfrac{\alpha\,’_\gamma}{\alpha_\gamma}=\arg\dfrac{\beta\,’_\gamma}{\beta_\gamma}$ …… ④$’$

①$’$～③$’$をもとにして，④$’$の証明を試みます。

ほとんどのケースで④$’$は成立すると予想されますが，
例外があるのかどうかが気になるところです。

解答

①$’$の両辺を２乗して，公式 $|\,\alpha\,|^2=\alpha\overline\alpha$ …… ⑤ を適用します。

ここで，⑥の左辺に注目すると，
第１項の $\alpha_\gamma\overline{\beta_\gamma}$ と第２項の $\overline{\mathstrut\alpha_\gamma}\beta_\gamma$ は，
互いに共役な複素数であることが分かります。

複素数 $\alpha$ に対して，$\alpha+\overline\alpha$ は
$\alpha$ の実部の２倍に等しくなりますから，
⑥の左辺は，$\overline{\mathstrut\alpha_\gamma}\beta_\gamma$ の実部の２倍に等しいわけです。ℹ️️もちろん，「$\alpha_\gamma\rboverline(\beta_\gamma)$ の実部の２倍」でもよいのですが，
この後の説明の都合により，
「$\rboverline(\mathstrut\alpha_\gamma)\beta_\gamma$ の～」を選択しました。

同様に，⑥の右辺は，$\overline{\mathstrut\alpha\,’_\gamma}\beta\,’_\gamma$ の実部の２倍に
等しいことになります。

従って，$\overline{\mathstrut\alpha_\gamma}\beta_\gamma$ と $\overline{\mathstrut\alpha\,’_\gamma}\beta\,’_\gamma$ は，
実部が等しい複素数であると言えます。

そしてもう１つ。

$\overline{\mathstrut\alpha_\gamma}\beta_\gamma$ と $\overline{\mathstrut\alpha\,’_\gamma}\beta\,’_\gamma$ は，
絶対値が等しい複素数であることも言えます。

なぜなら，$|\,\overline{\mathstrut\alpha_\gamma}\beta_\gamma\,|=|\,\alpha_\gamma\,||\,\beta_\gamma\,|$， $|\,\overline{\mathstrut\alpha\,’_\gamma}\beta\,’_\gamma\,|=|\,\alpha\,’_\gamma\,||\,\beta\,’_\gamma\,|$ であるので，
②$’$，③$’$より，$|\,\overline{\mathstrut\alpha_\gamma}\beta_\gamma\,|=|\,\overline{\mathstrut\alpha\,’_\gamma}\beta\,’_\gamma\,|$ となるからです。

つまり，$\overline{\mathstrut\alpha_\gamma}\beta_\gamma$ と $\overline{\mathstrut\alpha\,’_\gamma}\beta\,’_\gamma$ は，
絶対値も実部も等しい複素数ということになります。

この場合，考えられる可能性は，次の２通りです。

1. $\overline{\mathstrut\alpha_\gamma}\beta_\gamma$ と $\overline{\mathstrut\alpha\,’_\gamma}\beta\,’_\gamma$ は，
   等しい複素数である。
   （※ここでは，両者が実数である場合を除く）
2. $\overline{\mathstrut\alpha_\gamma}\beta_\gamma$ と $\overline{\mathstrut\alpha\,’_\gamma}\beta\,’_\gamma$ は，
   互いに共役な複素数である。
   （※両者が実数である場合を含む）

(B) が成り立つと仮定すると，$\rm AA’\raise{0.5pt}{\parallel}BB’$ となるので矛盾

まず，(B) が成り立つ場合について考えます。

現在行っている複素数平面による分析では，
$\rm AA’\raise{0.5pt}{\parallel}BB’$ となるケースを除外して考えています。ℹ️️「$\rm AA'\rbraise(0.5pt)(\parallel)BB'$」には，
２直線 $\rm AA',\ BB'$ が同一である場合を
含むものとします。

しかし，(B) が成り立つと仮定すると，
$\rm AA’\raise{0.5pt}{\parallel}BB’$ であることが証明でき，
矛盾が生じるため，背理法により
(B) は成立しないことが分かるのです。

その証明を，以下に示します。

複素数平面上の２線分 $\rm AA’,\,BB’$ について，
$\rm AA’\raise{0.5pt}{\parallel}BB’$ となるための必要十分条件は，
それぞれの点に対応する複素数を用いると，

$\dfrac{\beta\,’-\beta}{\alpha\,’-\alpha}$ が実数であること …… ⑦

と言い表せます。

そして，$\alpha_\gamma=\alpha-\gamma$ などの記号を用いると，
$\alpha\,’-\alpha=\alpha\,’_\gamma-\alpha_\gamma$，$\beta\,’-\beta=\beta\,’_\gamma-\beta_\gamma$ より，
⑦は，

$\dfrac{\beta\,’_\gamma-\beta_\gamma}{\alpha\,’_\gamma-\alpha_\gamma}$ が実数であること …… ⑦$’$

と言い換えられます。

さらに，この式は，

\begin{eqnarray*}
\dfrac{\beta\,’_\gamma-\beta_\gamma}{\alpha\,’_\gamma-\alpha_\gamma}
&=&\dfrac{(\beta\,’_\gamma-\beta_\gamma)\overline{\mathstrut(\alpha\,’_\gamma-\alpha_\gamma)}}{(\alpha\,’_\gamma-\alpha_\gamma)\overline{\mathstrut(\alpha\,’_\gamma-\alpha_\gamma)}}\\
&=&\dfrac{(\overline{\mathstrut\alpha\,’_\gamma}-\overline{\mathstrut\alpha_\gamma})(\beta\,’_\gamma-\beta_\gamma)}{\left|\,\alpha\,’_\gamma-\alpha_\gamma\,\right|^2}\vphantom{\LARGE{\dfrac{(1)}{(1)}}}
\end{eqnarray*}

と変形でき，分母は明らかに実数ですから，
⑦$’$は，

$(\overline{\mathstrut\alpha\,’_\gamma}-\overline{\mathstrut\alpha_\gamma})(\beta\,’_\gamma-\beta_\gamma)$ が実数であること …… ⑦$’$$’$

と同値になります。

従って，⑦を証明するには，⑦$’$$’$を証明すれば十分です。

さて，この⑦$’$$’$の式は，次のように変形できます。

　 $(\overline{\mathstrut\alpha\,’_\gamma}-\overline{\mathstrut\alpha_\gamma})(\beta\,’_\gamma-\beta_\gamma)$
　 $=\overline{\mathstrut\alpha\,’_\gamma}\beta\,’_\gamma-\overline{\mathstrut\alpha\,’_\gamma}\beta_\gamma-\overline{\mathstrut\alpha_\gamma}\beta\,’_\gamma+\overline{\mathstrut\alpha_\gamma}\beta_\gamma$
　 $=(\overline{\mathstrut\alpha\,’_\gamma}\beta\,’_\gamma+\overline{\mathstrut\alpha_\gamma}\beta_\gamma)-(\overline{\mathstrut\alpha\,’_\gamma}\beta_\gamma+\overline{\mathstrut\alpha_\gamma}\beta\,’_\gamma)$ …… ⑧

今，上記の (B) の場合について考えているわけですが，
(B) とは，

$\overline{\mathstrut\alpha_\gamma}\beta_\gamma$ と $\overline{\mathstrut\alpha\,’_\gamma}\beta\,’_\gamma$ が互いに共役な複素数である場合

でした。

従って，⑧の１番目の括かっ弧この中身 $(\overline{\mathstrut\alpha\,’_\gamma}\beta\,’_\gamma+\overline{\mathstrut\alpha_\gamma}\beta_\gamma)$ は，
互いに共役な２つの複素数の和ですので，実数になります。

では，⑧の２番目の括弧はどうでしょうか。

結論を言うと，これも実数になります。
それを証明しましょう。

まず，$\overline{\mathstrut\alpha_\gamma}\beta_\gamma$ と $\overline{\mathstrut\alpha\,’_\gamma}\beta\,’_\gamma$ が互いに共役な複素数であるので，
$\overline{\mathstrut\alpha_\gamma}\beta_\gamma=\alpha\,’_\gamma\overline{\mathstrut\beta\,’_\gamma}$ より，

　$\beta_\gamma=\dfrac{\alpha\,’_\gamma\overline{\mathstrut\beta\,’_\gamma}}{\overline{\mathstrut\alpha_\gamma}}$ ⚠️前述の通り，$\alpha_\gamma\neq 0$ ですので，
$\rboverline(\mathstrut\alpha_\gamma)$ も $0$ ではありません。

また，②$’$より，$|\,\alpha_\gamma\,|=|\,\alpha\,’_\gamma\,|$ であるから，

　$\overline{\mathstrut\alpha_\gamma}\alpha_\gamma=|\,\alpha_\gamma\,|^2=|\,\alpha\,’_\gamma\,|^2=\overline{\mathstrut\alpha\,’_\gamma}\alpha\,’_\gamma$

これらを使って，⑧の２番目の括弧内を変形します。

$$
\eqalign{
\overline{\mathstrut\alpha\,’_\gamma}\beta_\gamma+\overline{\mathstrut\alpha_\gamma}\beta\,’_\gamma
&=&\dfrac{\overline{\mathstrut\alpha\,’_\gamma}\alpha\,’_\gamma\overline{\mathstrut\beta\,’_\gamma}}{\overline{\mathstrut\alpha_\gamma}}+\overline{\mathstrut\alpha_\gamma}\beta\,’_\gamma\\[0.4em]
&=&\dfrac{\overline{\mathstrut\alpha_\gamma}\alpha_\gamma\overline{\mathstrut\beta\,’_\gamma}}{\overline{\mathstrut\alpha_\gamma}}+\overline{\mathstrut\alpha_\gamma}\beta\,’_\gamma\\[0.4em]
&=&\alpha_\gamma\overline{\mathstrut\beta\,’_\gamma}+\overline{\mathstrut\alpha_\gamma}\beta\,’_\gamma
}
$$

これもまた，複素数 $\alpha_\gamma\overline{\mathstrut\beta\,’_\gamma}$ と，
その共役複素数 $\overline{\mathstrut\alpha_\gamma}\beta\,’_\gamma$ の和ですから，
やはり実数になります。

これで，⑧が実数であることが分かりました。

以上より，$\dfrac{\beta\,’_\gamma-\beta_\gamma}{\alpha\,’_\gamma-\alpha_\gamma}$ が実数であること（⑦$’$），
すなわち $\rm AA’\raise{0.5pt}{\parallel}BB’$ であることが証明されました。ℹ️️上で行った式変形は，
もっと上手い手順がありそうな気もしますが，
思いつかないのでしかたない…

これによって，前述の通り，
前提条件との矛盾が生じるため，
(B) は成り立たないことが分かります。

(A) の場合は，$\boldsymbol{\angle\,\alpha\,\gamma\,\alpha\,’=\angle\,\beta\,\gamma\,\beta\,’}$ が示せる

ということで，現在分析の対象としているケースは，
必ず上記の (A) に該当する，
すなわち $\overline{\mathstrut\alpha_\gamma}\beta_\gamma=\overline{\mathstrut\alpha\,’_\gamma}\beta\,’_\gamma$ …… ⑩ が成り立つことが分かります。

このとき，$\angle\,\alpha\,\gamma\,\alpha\,’=\angle\,\beta\,\gamma\,\beta\,’$ と同値な等式

$\arg\dfrac{\alpha\,’_\gamma}{\alpha_\gamma}=\arg\dfrac{\beta\,’_\gamma}{\beta_\gamma}$ …… ④$’$

が成り立つことを証明しましょう。

上に示した等式④$’$は，
$\dfrac{\alpha\,’_\gamma}{\alpha_\gamma}$ と $\dfrac{\beta\,’_\gamma}{\beta_\gamma}$ の偏角が等しいという内容ですが，
実は，この両者は値そのものが等しくなります。

つまり，$\dfrac{\alpha\,’_\gamma}{\alpha_\gamma}=\dfrac{\beta\,’_\gamma}{\beta_\gamma}$ です。

実際，⑩より，

　$\dfrac{\beta\,’_\gamma}{\beta_\gamma}
=\dfrac{\overline{\mathstrut\alpha_\gamma}}{\overline{\mathstrut\alpha\,’_\gamma}}=\dfrac{\overline{\mathstrut\alpha_\gamma}\cdot\alpha\,’_\gamma\overline{\mathstrut\alpha\,’_\gamma}}{\overline{\mathstrut\alpha\,’_\gamma}\cdot\alpha_\gamma\overline{\mathstrut\alpha_\gamma}}=\dfrac{\alpha\,’_\gamma}{\alpha_\gamma}$

ですから。

値が等しければ当然偏角も等しいので，
等式④$’$は成立します。

よって，$\angle\,\alpha\,\gamma\,\alpha\,’=\angle\,\beta\,\gamma\,\beta\,’$ であることが分かりました。

以上をもって，次の条件を満たす２線分 $\rm AB,\ A’B’$ は，
回転移動１回で重ねられることが証明できたことになります。

• ２線分 $\rm AB,\ A’B’$ は長さが等しい。
• ２点 $\rm A,\ A’$ は一致しない。
  ２点 $\rm B,\ B’$ も一致しない。
• ２直線 $\rm AA’,\ BB’$ は平行でも同一でもない。

まとめ

本記事では，複素数平面を利用して，
次の主張（命題）が正しいことを証明しました。

これにより，次の定理が証明できたと言って
よいのではないかと思います。

筆者の思考に穴がなければですが，
なかなか面白い結論が得られたのではないでしょうか。

初等幾何では解決しづらい問題を
複素数平面で解決できる事例ですので，
複素数平面を学んだ学習者に紹介するのに
適しているのではないかと思います。⚠️もっとも，高校生にこの事例を紹介するなら，
相当上位の生徒に限定した方が良いかもしれません。