前ページまでのあらすじ
次の条件を満たす２線分 $\rm AB,\ A’B’$ が，
回転移動１回で重ねられるかどうかを考えています。
- ２線分 $\rm AB,\ A’B’$ は長さが等しい。
- ２点 $\rm A,\ A’$ は一致しない。
２点 $\rm B,\ B’$ も一致しない。 - ２直線 $\rm AA’,\ BB’$ は平行でも同一でもない。
複素数平面上で，４点 $\rm A(\alpha),\ B(\beta),\ A'(\alpha\,’),\ B(\beta\,’)$ が
上の条件を満たすとき，
２線分 $\rm AA’,\ BB’$ の垂直二等分線には
ただ１つの交点が存在します。
それを $\rm C(\gamma)$ とおくと，次の式が成り立ちます。
- $|\,\alpha-\beta\,|=|\,\alpha\,’-\beta\,’\,|$ …… ①
- $|\,\alpha-\gamma\,|=|\,\alpha\,’-\gamma\,|$ …… ②
- $|\,\beta-\gamma\,|=|\,\beta\,’-\gamma\,|$ …… ③
このとき，$\angle\,\alpha\,\gamma\,\alpha\,’=\angle\,\beta\,\gamma\,\beta\,’$ が成り立つかどうかを
調べたいのですが，これは
$\arg\dfrac{\alpha\,’-\gamma}{\alpha-\gamma}=\arg\dfrac{\beta\,’-\gamma}{\beta-\gamma}$ …… ④
と同値ですので，④が成り立つかどうかを
調べればよいことになります。
ヒント２ それぞれの式の扱い
複素数平面では，絶対値を見たら $\boldsymbol{|\,\alpha\,|^2=\alpha\overline\alpha}$
上記の①～③は，いずれも
複素数の絶対値が等しいという式ですね。
複素数平面では，絶対値を見たら，
$|\,\alpha\,|^2=\alpha\overline\alpha$ …… ⑤
という公式の適用を考えるのが
１つのコツになるようです。
ただ，この公式を使って，
①～③の両辺を２乗した上でバラバラに展開しても，
うまくいきそうな予感は持てませんでした。
点 $\rm C$ を始点とするベクトルという発想
「$\boldsymbol{\alpha-\gamma}$」や「$\boldsymbol{\beta-\gamma}$」の形を保った方がうまくいく？
式変形のしかたにもよるのでしょうが，このケースでは，
「$\,\boldsymbol{\lower{1pt}{\square}-\gamma}\,$」の形，つまり「$\alpha-\gamma$」や「$\beta-\gamma$」の形を
保ちながら式変形した方がうまくいくようです。
その形が含まれない①についても，
次のように変形してしまいます。
$|\,(\alpha-\gamma)-(\beta-\gamma)\,|=|\,(\alpha\,’-\gamma)-(\beta\,’-\gamma)\,|$
さらに，$\alpha-\gamma=\alpha_\gamma\,$，$\beta-\gamma=\beta_\gamma\,$，$\alpha\,’-\gamma=\alpha\,’_\gamma\,$，$\beta\,’-\gamma=\beta\,’_\gamma$ のように，
記号も書き換えてしまいましょう。
平行でない２線分 $\rm AA’,\ BB’$ の
垂直二等分線の交点が $\rm C(\gamma)$ であるため，
点 $\rm C$ が４点 $\rm A,\ A’,\ B,\ B’$ のいずれかと
一致することはありませんから，
$\alpha_\gamma,\ \beta_\gamma,\ \alpha\,’_\gamma,\ \beta\,’_\gamma$ はいずれも$\raise{0.25pt}{\;0\;}$ではないと言えます。
なお，このあたりの話は，
点 $\rm C$ を始点とするベクトルを思い浮かべると
一気に理解しやすくなると思います。
ベクトルとの類似点
点 $\rm A,\ B,\ A’,\ B’,\ C$ の位置ベクトルを，
それぞれ $\vec{a\vphantom{a’}},\ \vec{b},\ \vec{a\,’},\ \vec{b\,’},\ \vec{c\vphantom{a’}}$ とします。
このとき，例えば，$\rm AB=A’B’$ という条件は，
ベクトルを使って表すなら $\rm |\,\overrightarrow{AB}\,|=|\,\overrightarrow{A’B’}\,|$ であり，
つまり $|\,\vec{b}-\vec{a\vphantom{a’}}\,|=|\,\vec{b\,’}-\vec{a\,’}\,|$ です。
これは，$|\,\alpha-\beta\,|=|\,\alpha\,’-\beta\,’\,|$（①）と
非常によく似ています。⚠️文字の順序の違いが気になるかもしれませんが，
ベクトルの差の大きさや複素数の差の絶対値では
値に影響しないので問題ありません。
角の向きについてひとまず忘れてベクトルで考えるなら，
この問題は要するに，
$\overrightarrow{\rm CA}$ と $\overrightarrow{\rm CA’}$ のなす角と， $\overrightarrow{\rm CB}$ と $\overrightarrow{\rm CB’}$ のなす角が
等しいかどうかを考えているのです。
だから，$\overrightarrow{\rm AB}$ や $\overrightarrow{\rm A’B’}$ を式の中に残すよりは，
$\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{\rm CB}-\overrightarrow{\rm CA}$ などと書き換えてしまった方が
よいかもしれないという発想が出てくるわけです。
少し上で，①を
$|\,(\alpha-\gamma)-(\beta-\gamma)\,|=|\,(\alpha\,’-\gamma)-(\beta\,’-\gamma)\,|$
と書き換えていますが，これは，$\rm |\,\overrightarrow{AB}\,|=|\,\overrightarrow{A’B’}\,|$ を
$\rm |\,\overrightarrow{\rm CB}-\overrightarrow{\rm CA}\,|=|\,\overrightarrow{\rm CB’}-\overrightarrow{\rm CA’}\,|$
と変形した後，位置ベクトルを用いて，
$|\,(\vec{b}-\vec{c\vphantom{a’}})-(\vec{a\vphantom{a’}}-\vec{c\vphantom{a’}})\,|=|\,(\vec{b\,’}-\vec{c\vphantom{a’}})-(\vec{a\,’}-\vec{c\vphantom{a’}})\,|$
のように書き換えるのとよく似た考え方です。
実は筆者は，複素数平面の利用を試す前に，
ベクトルを使って本記事のテーマについて考えていました。
まあまあいいところまで迫ったと思うのですが，
初等幾何と同様に，
角の向きについて気持ち悪さが残ったため
中止したという経緯があります。
その経緯があったからこそ，
筆者からはこのアイデアが出やすかったと
言えるかもしれません。
記号の置き換えの結果
上記の記号の書き換えを利用すると，
①～④は次のようになります。
- $|\,\alpha_\gamma-\beta_\gamma\,|=|\,\alpha\,’_\gamma-\beta\,’_\gamma\,|$ …… ①$’$
- $|\,\alpha_\gamma\,|=|\,\alpha\,’_\gamma\,|$ …… ②$’$
- $|\,\beta_\gamma\,|=|\,\beta\,’_\gamma\,|$ …… ③$’$
- $\arg\dfrac{\alpha\,’_\gamma}{\alpha_\gamma}=\arg\dfrac{\beta\,’_\gamma}{\beta_\gamma}$ …… ④$’$
記事をほぼ書き終えてから気づいたのですが，
垂直二等分線の交点として
点 $\rm C$ の位置が確定した後に
複素数平面を導入するという考え方の方が
簡単だったと思います。
その複素数平面では，点 $\rm C$ の位置を原点とし，
他の各点は，これまでの議論と同様，
$\rm A(\alpha),\ B(\beta),\ A'(\alpha\,’),\ B(\beta\,’)$ とおきます。
この考え方でも，任意の位置関係の
２線分 $\rm AB,\ A’B’$ について考察できるので
支障はありません。
この場合，式②～④の $\gamma$ が $0$ になりますから，
式①～④は次のようになるわけです。
- $|\,\alpha-\beta\,|=|\,\alpha\,’-\beta\,’\,|$
- $|\,\alpha\,|=|\,\alpha\,’\,|$
- $|\,\beta\,|=|\,\beta\,’\,|$
- $\arg\dfrac{\alpha\,’}{\alpha}=\arg\dfrac{\beta\,’}{\beta}$
上記の①$’$～④$’$とほぼ同じですね。
気が向いたら，記事をその方向に
書き直すかもしれません。
次ページの内容
上記の①$’$～③$’$をもとにして，④$’$の証明を試みます。
ほとんどのケースで④$’$は成立すると予想されますが，
例外があるのかどうか。
次ページにて最終決着です。