前ページまでのあらすじ
本記事のテーマは，裏返し不要の位置にある２つの図形が，
平行移動１回または回転移動１回だけで重ねられると
言えるかどうかの検討です。
そのテーマは，これまでの考察で，
次の主張（命題）が正しいかどうかに集約されたと言えます。
この主張が正しいかどうかを，
複素数平面を用いて検証したいと思います。
ヒント１ 問題の整理と設定
検討対象となる状況
これから先，検討の対象にするのは，次のような状況です。
平面上に長さの等しい２線分 $\rm AB,\ A’B’$ があり，
２線分$\;\rm AA’,\ BB’\;$にそれぞれ垂直二等分線がひけて，
その２直線の交点が１つに定まる。
細分化して整理すると，次のようになります。
- 平面上に，長さの等しい２線分 $\rm AB,\ A’B’$ がある。
- ２点 $\rm A,\ A’$ は一致しない。
２点 $\rm B,\ B’$ も一致しない。 - ２直線 $\rm AA’,\ BB’$ は，平行でも同一でもない。
該当する図をいくつか挙げておきます。
これらの図は，いかにも点 $\rm C$ を中心とする回転移動で
線分 $\rm AB$ を線分 $\rm A’B’$ に重ねられそうな
描き方をしていますが，それが可能であるのは，
$\rm\angle\,ACA’=\angle\,BCB’$
が成立する場合です。
はたして，長さの等しい２線分 $\rm AB,\ A’B’$ を配置したとき，
先に挙げた条件を満たしていれば，
常に $\rm\angle\,ACA’=\angle\,BCB’$ であると言えるのでしょうか。
また，例外があるなら，
それがどのような場合かを探っていきます。
複素数平面上の設定
長い長い前置きをようやく終えて，
本論に入ります。
まず，４点 $\rm A,\ B,\ A’,\ B’$ が複素数平面上にあるとして，
対応する複素数をそれぞれ $\alpha,\ \beta,\ \alpha\,’,\ \beta\,’$ とします。
また，前述した仮定より，２直線 $\rm AA’,\ BB’$ は存在し，
しかもそれらは平行でも同一でもないので，
２線分 $\rm AA’,\ BB’$ の垂直二等分線は１点で交わります。
その交点を $\rm C(\gamma)$ とします。
複素数表記付きの図を１つ示しておきます。
この状況下で成立すること
まず，この状況下で成立する等式をまとめます。
- $\rm AB=A’B’$ より，
$|\,\alpha-\beta\,|=|\,\alpha\,’-\beta\,’\,|$ …… ① - $\rm AC=A’C$ より，
$|\,\alpha-\gamma\,|=|\,\alpha\,’-\gamma\,|$ …… ② - $\rm BC=B’C$ より，
$|\,\beta-\gamma\,|=|\,\beta\,’-\gamma\,|$ …… ③
証明したいこと
２点 $\rm A,\ A’$ からの距離が等しく，
かつ２点 $\rm B,\ B’$ からの距離も等しいただ１つの点を
$\rm C$ としているわけですから，
回転の中心は当然点 $\rm C$ です。
この場合，点 $\rm C$ を中心として
線分 $\rm AB$ を回転移動することで
線分 $\rm A’B’$ に重ねることができるための
必要十分条件は，
$\rm \angle ACA’=\angle BCB’$
です。
ただし，これは，既に注意を促しましたが，
角の向きも含めて等しくなければなりません。
ですから，複素数を使って，
$\angle\,\alpha\,\gamma\,\alpha\,’=\angle\,\beta\,\gamma\,\beta\,’$
と書いた方が正確でしょう。
この式は，偏角の記号 $\arg$ を使うと，
$\arg\dfrac{\alpha\,’-\gamma}{\alpha-\gamma}=\arg\dfrac{\beta\,’-\gamma}{\beta-\gamma}$ …… ④
と表せます。
考えるべきことは，①～③が成り立てば，
④も必ず成り立つのかどうかです。
次ページの内容
①～③の式の扱いには，
ある工夫が必要になるようです。
その工夫について解説します。