前ページまでのあらすじ
平面上に置かれた合同な図形の
移動による重ね合わせについて，
次の主張（命題）が正しいかどうかを
考えてみようという話になりました。
前ページでは，これを初等幾何で解決する場合の
難点を説明しました。
導入４ 複素数平面を使う理由
前ページで説明した通り，筆者は，
この問題を初等幾何で解決するのは難しいと判断しました。
ので，別の手段を試したいと思います。
別の手段の候補としては，
座標平面，三角比，ベクトルなどが思い浮かびます。
しかし筆者は，多くの高校生が敬遠しそうな
複素数平面を選びました。
その理由は，複素数平面では，
角の向き（角の正負）を考えることができるからです。
図 4-1
この図では，長さの等しい線分 $\rm AB,\ A’B’$ が
点 $\rm C$ で交わっていて，
しかも $\rm CA=CA’$ となっています。
（よって $\rm CB=CB’$ でもあります。）
このとき， $\rm\angle\,ACA’=\angle\,BCB’$ でもあることから，
点 $\rm C$ を中心とする回転移動で，
線分 $\rm AB$ を線分 $\rm A’B’$ に重ねることができます。
$\rm\angle\,ACA’=\angle\,BCB’=\theta$ と表した場合，
点 $\rm C$ を中心として反時計回りに $\theta$ だけ回転すれば，
点 $\rm A$ は点 $\rm A’$ に，点 $\rm B$ は点 $\rm B’$ に
それぞれ重ねられるからです。
ではもう１つ，次の図について考えてみます。
図 4-2
この図は，図 4-1の点 $\rm B$ と点 $\rm B’$ の位置を
入れかえたものです。
従って，この図 4-2においても，
$\rm AB=A’B’$
$\rm CA=CA’$
$\rm CB=CB’$
$\rm\angle\,ACA’=\angle\,BCB’$
が成り立ちます。
しかし，この図の線分 $\rm AB$ を，
点 $\rm C$ を中心とする回転移動で
線分 $\rm A’B’$ に重ねることはできません。
角の向きが異なるためです。
角の向きの違いを，複素数平面なら考慮できる
図 4-1 では，点 $\rm C$ を中心とする回転移動で点 $\rm A$ を点 $\rm A’$ に，点 $\rm B$ を点 $\rm B’$ に移すときの回転角は，同じ向きでした。図 4-1$\,\boldsymbol{\vphantom{a}’}$
一方，図 4-2では，点 $\rm C$ を中心とする回転移動で点 $\rm A$ を点 $\rm A’$ に，点 $\rm B$ を点 $\rm B’$ に移すときの回転角は，
逆の向きになっています。
図 4-2$\,\boldsymbol{\vphantom{a}’}$
片方は時計回り，もう片方は反時計回りになっていますね。
だから，この図の線分 $\rm AB$ は，
点 $\rm C$ を中心とする回転移動で
線分 $\rm AB$ に重ねることはできないわけです。
本記事のテーマで複素数平面を使いたくなった理由は
ここにあります。
複素数平面では，２つの角について，
大きさが同じであっても，向きが異なる場合，
それらの角は等しくないと見なします。
そのため，図 4-2$\,’$ の $\rm\angle\,ACA’$ と $\rm\angle\,BCB’$ は
等しくないという判断が，
複素数平面なら自然にできるのです。
垂直二等分線の交点の位置は問題にならない
初等幾何による検討では，
２本の垂直二等分線の交点 $\rm C$ の位置が問題になりましたが，
それは，$\rm\angle\,ACB$ や $\rm\angle\,A’CB’$ を介して
証明しようとしたからです。
次の２つの図は，前ページで，
点 $\rm C$ の位置次第で同じ証明が通用しなくなる例として挙げた
図 3-1，図 3-2に対し，
回転移動の角（$\rm\angle\,ACA’$，$\rm\angle\,BCB’$）を図示したものです。
図 3-1$\,\boldsymbol{\vphantom{a}’}$
図 3-2$\,\boldsymbol{\vphantom{a}’}$ （※不正確な図）
この２つの図のいずれについても，
点 $\rm C$ が $\rm CA=CA’$，$\rm CB=CB’$ を満たす点である場合，
あとは $\rm\angle\,ACA’$ と $\rm\angle\,BCB’$ が
角の向きを含めて等しいことさえ証明できれば，
点 $\rm C$ を中心とする回転移動１回で
線分 $\rm AB$ を線分 $\rm A’B’$ に重ねられると言えます。
複素数平面ならそのような考察が可能であり，
点 $\rm C$ がどこにあろうと，その考察に影響することはありません。
これが，本記事のテーマにおいて，
初等幾何よりも複素数平面の方が有効だと思われる理由です。
次ページの内容
次ページより，本格的に複素数平面による検討に入ります。
はたして，２本の垂直二等分線の交点が
１つに決まる配置であれば，
１回の回転移動で２線分を重ねられると言えるのでしょうか。
それとも，例外があるのでしょうか。
複素数平面を用いた考察に自信のある方は，
ここから自力で考えてみられるのもよいと思います。
（でもまだかなり難しいかも…）