【課題学習のテーマ】２つの合同な図形をどのように配置したとき，回転移動１回だけで重ねられるか

前ページまでのあらすじ

平面上に置かれた合同な図形の
移動による重ね合わせについて，
次の主張（命題）が正しいかどうかを
考えてみようという話になりました。

前ページでは，これを初等幾何で解決する場合の
難点を説明しました。

導入４　複素数平面を使う理由

前ページで説明した通り，筆者は，
この問題を初等幾何で解決するのは難しいと判断しました。

ので，別の手段を試したいと思います。

別の手段の候補としては，
座標平面，三角比，ベクトルなどが思い浮かびます。

しかし筆者は，多くの高校生が敬遠しそうな
複素数平面を選びました。

その理由は，複素数平面では，
角の向き（角の正負）を考えることができるからです。

図 4-1

この図では，長さの等しい線分 $\mathrm{A}\mathrm{B},{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$ が
点 $\mathrm{C}$ で交わっていて，
しかも $\mathrm{C}\mathrm{A}=\mathrm{C}{\mathrm{A}}^{\prime }$ となっています。
（よって $\mathrm{C}\mathrm{B}=\mathrm{C}{\mathrm{B}}^{\prime }$ でもあります。）

このとき， $\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}{\mathrm{A}}^{\prime }=\mathrm{\angle }\mathrm{B}\mathrm{C}{\mathrm{B}}^{\prime }$ でもあることから，
点 $\mathrm{C}$ を中心とする回転移動で，
線分 $\mathrm{A}\mathrm{B}$ を線分 ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$ に重ねることができます。

$\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}{\mathrm{A}}^{\prime }=\mathrm{\angle }\mathrm{B}\mathrm{C}{\mathrm{B}}^{\prime }=\theta$ と表した場合，
点 $\mathrm{C}$ を中心として反時計回りに $\theta$ だけ回転すれば，
点 $\mathrm{A}$ は点 ${\mathrm{A}}^{\prime }$ に，点 $\mathrm{B}$ は点 ${\mathrm{B}}^{\prime }$ に
それぞれ重ねられるからです。

ではもう１つ，次の図について考えてみます。

図 4-2

この図は，図 4-1の点 $\mathrm{B}$ と点 ${\mathrm{B}}^{\prime }$ の位置を
入れかえたものです。

従って，この図 4-2においても，

$\mathrm{A}\mathrm{B}={\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$
$\mathrm{C}\mathrm{A}=\mathrm{C}{\mathrm{A}}^{\prime }$
$\mathrm{C}\mathrm{B}=\mathrm{C}{\mathrm{B}}^{\prime }$
$\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}{\mathrm{A}}^{\prime }=\mathrm{\angle }\mathrm{B}\mathrm{C}{\mathrm{B}}^{\prime }$

が成り立ちます。

しかし，この図の線分 $\mathrm{A}\mathrm{B}$ を，
点 $\mathrm{C}$ を中心とする回転移動で
線分 ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$ に重ねることはできません。⚠️

角の向きが異なるためです。

角の向きの違いを，複素数平面なら考慮できる

図 4-1 では，点 $\mathrm{C}$ を中心とする回転移動で点 $\mathrm{A}$ を点 ${\mathrm{A}}^{\prime }$ に，点 $\mathrm{B}$ を点 ${\mathrm{B}}^{\prime }$ に移すときの回転角は，同じ向きでした。⚠️

図 4-1${\phantom{\mathit{a}}}^{\mathbf{\prime }}$

一方，図 4-2では，点 $\mathrm{C}$ を中心とする回転移動で点 $\mathrm{A}$ を点 ${\mathrm{A}}^{\prime }$ に，点 $\mathrm{B}$ を点 ${\mathrm{B}}^{\prime }$ に移すときの回転角は，
逆の向きになっています。

図 4-2${\phantom{\mathit{a}}}^{\mathbf{\prime }}$

片方は時計回り，もう片方は反時計回りになっていますね。

だから，この図の線分 $\mathrm{A}\mathrm{B}$ は，
点 $\mathrm{C}$ を中心とする回転移動で
線分 $\mathrm{A}\mathrm{B}$ に重ねることはできないわけです。

本記事のテーマで複素数平面を使いたくなった理由は
ここにあります。

複素数平面では，２つの角について，
大きさが同じであっても，向きが異なる場合，
それらの角は等しくないと見なします。

そのため，図 4-2${}^{\prime }$ の $\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}{\mathrm{A}}^{\prime }$ と $\mathrm{\angle }\mathrm{B}\mathrm{C}{\mathrm{B}}^{\prime }$ は
等しくないという判断が，
複素数平面なら自然にできるのです。

垂直二等分線の交点の位置は問題にならない

初等幾何による検討では，
２本の垂直二等分線の交点 $\mathrm{C}$ の位置が問題になりましたが，
それは，$\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}$ や $\mathrm{\angle }{\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{C}{\mathrm{B}}^{\prime }$ を介して
証明しようとしたからです。

次の２つの図は，前ページで，
点 $\mathrm{C}$ の位置次第で同じ証明が通用しなくなる例として挙げた
図 3-1，図 3-2に対し，
回転移動の角（$\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}{\mathrm{A}}^{\prime }$，$\mathrm{\angle }\mathrm{B}\mathrm{C}{\mathrm{B}}^{\prime }$）を図示したものです。

図 3-1${\phantom{\mathit{a}}}^{\mathbf{\prime }}$

図 3-2${\phantom{\mathit{a}}}^{\mathbf{\prime }}$ （※不正確な図）

この２つの図のいずれについても，
点 $\mathrm{C}$ が $\mathrm{C}\mathrm{A}=\mathrm{C}{\mathrm{A}}^{\prime }$，$\mathrm{C}\mathrm{B}=\mathrm{C}{\mathrm{B}}^{\prime }$ を満たす点である場合，
あとは $\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}{\mathrm{A}}^{\prime }$ と $\mathrm{\angle }\mathrm{B}\mathrm{C}{\mathrm{B}}^{\prime }$ が
角の向きを含めて等しいことさえ証明できれば，
点 $\mathrm{C}$ を中心とする回転移動１回で
線分 $\mathrm{A}\mathrm{B}$ を線分 ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$ に重ねられると言えます。

複素数平面ならそのような考察が可能であり，
点 $\mathrm{C}$ がどこにあろうと，その考察に影響することはありません。

これが，本記事のテーマにおいて，
初等幾何よりも複素数平面の方が有効だと思われる理由です。

次ページの内容

次ページより，本格的に複素数平面による検討に入ります。

はたして，２本の垂直二等分線の交点が
１つに決まる配置であれば，
１回の回転移動で２線分を重ねられると言えるのでしょうか。

それとも，例外があるのでしょうか。

複素数平面を用いた考察に自信のある方は，
ここから自力で考えてみられるのもよいと思います。
（でもまだかなり難しいかも…）