前ページまでのあらすじ
平面上に置かれた合同な図形の
移動による重ね合わせについて，
次の主張（命題）が正しいかどうかを
考えてみようという話になりました。
この主張が正しければ，次の定理が成り立つと言えるため，
本記事のテーマについて考えるにあたり，
重要な検討事項になります。
平面上で，２つの合同な図形が
裏返し不要の位置にあるとき，
その２つの図形は，平行移動１回または回転移動１回で，
片方を他方に重ね合わせることができる。
（※まだ真偽不明）
導入３ まず初等幾何で考えてみる
初等幾何でもある程度迫れるが
この問題について考えるとしたら，
初等幾何による解決を試みる人が多いでしょう。
実際，初等幾何でもある程度，答えに迫れます。
例えば，２線分 $\rm AB,\ A’B’$ が，
図のように配置されている場合について考えます。
図 3-1
この図では，２線分 $\rm AB,\ A’B’$が交わっており，
その交点を $\rm P$ としています。
さて，検証したいのは，
$\rm\angle\,ACA’=\angle\,BCB’$ …… ②
であるかどうかです。
この図のケースに限れば，②が正しいことは証明できます。
証明の詳細は省略しますが，方針としては，
$\rm\triangle CAB\equiv\triangle CA’B’$ を示し，
それを利用すれば解決します。
垂直二等分線の交点は本当にそこにあるのか
しかし，この証明方法には疑問が残ります。
図 3-1 において，点 $\rm C$ は $\rm\angle\,A’PB$ の内部に描かれていますが， 本当にその位置にあると断言してよいのでしょうか。点 $\rm C$ が線分 $\rm A’B’$ 上にあるとか，
$\rm\angle\,APA’$ の内部にあるといった可能性は
ないのでしょうか。
図 3-2 （※不正確な図）
もしも，点 $\rm C$ がこの図のような位置にあるとしたら，
上記の証明方法は通用しません。
つまり，②を証明したければ，
点 $\rm C$ が $\rm\angle\,A’PB$ の内部にあることの証明から
始める必要があると考えられます。
その証明は，かなり難しいのではないでしょうか。
筆者は，この疑問に対し，
初等幾何による解決方法を思いついていません。
全ての場合を考慮し尽くすのも難しい
そうでなくても，図 3-1の位置関係について，
２線分を回転移動１回で重ねられることが
証明できたからと言って，
どんな位置関係の２線分についても
同様であるというのは暴論でしょう。
次の図について考えてみてください。
図 3-3
この図についての証明は，
$\rm\triangle CAB\equiv\triangle CA’B’$ までは
図 3-1 と同様ですが，その後，
$\rm\angle\,ACA’=\angle\,BCB’$（②）を示す部分が若干異なります。
このように，２線分 $\rm AB,\ A’B’$ の配置が異なれば，
証明も異なる可能性があります。
もちろん，図 3-1 と 図 3-3 の場合だけで
十分かどうかも分かりません。
また，図 3-1 について前述した，
点 $\rm C$ が本当にそこにあるのかという問題は，
当然 図 3-3にもついて回ります。
初等幾何で解決するのは難しそう
これらのような難点があるため，
筆者はこの問題を初等幾何で解決するのは諦めました。
そして，別の解決手段として考えたのが，
高校数学Ｃで学ぶ「複素数平面」です。
次ページの内容
次ページでは，別の手段として
座標平面，三角比，ベクトルなども考えられる中で，
複素数平面を選んだ理由を説明します。