【課題学習のテーマ】２つの合同な図形をどのように配置したとき，回転移動１回だけで重ねられるか

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前ページのあらすじ

前ページでは，次の問題を提起しました。

長さの等しい２つの線分は，
多くの場合，回転移動１回で重ねられると言えるのか。

平行移動では重ねられず，
かつ回転移動１回で重ねられない配置はあるのか。

あるとしたらどのような配置か。

本ページでは，この問題を解決する糸口について
説明します。

ではここで，具体的な２線分の配置を見ながら，
その２線分を回転移動１回で重ねるとしたら，
その回転移動の中心はどこになるのかを考えてみます。

次の図のように，長さの等しい２線分 $\rm AB,\ A’B’$ が
平面上に配置されているとします。

図 2-1

この図の線分 $\rm AB$ に対して
１回だけ回転移動を行って，
線分 $\rm A’B’$ に重ねたいわけです。

その回転の中心を点 $\rm C$ とすると，
点 $\rm A$ を点 $\rm A’$ に，点 $\rm B$ を点 $\rm B’$ に
重ねるのですから，

$\rm CA=CA’$ かつ $\rm CB=CB’$ …… ①

であることが必要条件になります。

図 2-2

つまり，点 $\rm C$ は，
線分 $\rm AA’$ の垂直二等分線上にあり，かつ
線分 $\rm BB’$ の垂直二等分線上にもあることが
必要になるわけです。

図 2-3

その２本の垂直二等分線が平行または同一でないのなら，
それらの交点が１つに定まりますから，
回転の中心 $\rm C$ として可能性があるのは
その交点のみです。

もっとも，それだけではいけません。

垂直二等分線の交点 $\rm C$ を回転の中心とする回転移動によって
線分 $\rm AB$ を線分 $\rm A’B’$ に重ねられると言うためには，

$\rm\angle\,ACA’=\angle\,BCB’$ …… ②

が必要になります。

図 2-4

①と②が揃ってはじめて，２線分 $\rm AB,\ A’B’$ は
１回の回転移動で重ねられると言えるわけです。

上の図の２線分 $\rm AB,\ A’B’$ は，
２線分 $\rm AA’,\ BB’$ にそれぞれ垂直二等分線がひけて，
しかもそれらが平行または同一にならないような
配置になっていました。

そのケースについては，記事内でじっくり検証しますが，
その前に，それ以外のケースをひと通り
見ておきたいと思います。

それ以外のケースとは，

といったケースが該当します。

細分すると，次のようになります。

２点 $\rm A,\ A’$，または２点 $\rm B,\ B’$ が一致する。
２点 $\rm A,\ B’$ が一致し，かつ２点 $\rm B,\ A’$ が一致する。⚠️
四角形 $\rm ABB’A’$ が平行四辺形（長方形を含む）になる。
四角形 $\rm ABB’A’$ が等脚台形（長方形は除く）になる。
四角形 $\rm AB’BA’$ が，
$\rm AA’\raise{1pt}{\;/\!/\;}BB’$ を満たす等脚台形（長方形を含む）になる。
※２線分 $\rm AB,\ A’B’$ が交わった状態。
異なる４点 $\rm A,\ B,\ A’,\ B’$ が，この順に一直線上にある。
異なる４点 $\rm A,\ B,\ B’,\ A’$ が，この順に一直線上にある。
異なる４点 $\rm A,\ A’,\ B,\ B’$ が，この順に一直線上にある。
異なる４点 $\rm A,\ B’,\ B,\ A’$ が，この順に一直線上にある。