前ページまでのあらすじ
前ページで，正多面体が５種類しかないことの
代数的な証明を１つ示しました。
その過程で出てきた
$2mp+2np-mnp=4m$ …… ①
という方程式の，別の変形方法を考えたいと思います。
補足
もう１つ，有効な式変形がある
上記の方程式①は，次のように変形することもできます。
\begin{eqnarray*}
mnp-2mp-2np&=&-4m\huge\vphantom{1}\\
mnp-2mp-2np+4p&=&4p-4m\huge{\vphantom{1}}\\
p(mn-2m-2n+4)&=&4p-4m\huge\vphantom{1}\\
p(m-2)(n-2)&=&4(p-m)\huge\vphantom{1}\\
(m-2)(n-2)&=&4\cdot\dfrac{p-m}{p}\large\vphantom{\dfrac{1}{1}}\ \cdots\ \text{④}
\end{eqnarray*}
④の右辺についてですが，
まず，$m>0$ であることから，$p-m<p$ です。
この不等式の両辺を正の数 $p$ でわると $\dfrac{p-m}{p}<1$ となり，
さらに両辺に $4$ をかけると，$4\cdot\dfrac{p-m}{p}<4$ となります。
従って，④より，
$(m-2)(n-2)<4$ であることが分かるのです。
これは，前ページの不等式③と一致しています。
そこから，前ページと同じ推論を展開することも可能です。
他のアプローチもあるかもしれない
$2mp+2np-mnp=4m$ という等式に対しては，
他にも色々な式変形が考えられそうです。
筆者は，既に述べた２通りしか
有効な式変形を発見できていませんが，
探せば他にもあるかもしれません。
興味のある方は，探してみられるのもよいかと思います。
最後まで読んでいただきありがとうございます。
参考になれば幸いです。