【課題学習のテーマ】正多面体がよく知られている５種類しかないことの代数的な証明

前ページまでのあらすじ

正多面体が５種類しかないことの
代数的な証明について考えています。

正$\;p\;$面体の１つの頂点に正$\;n\;$角形が$\;m\;$枚集まるとしたとき，
次の方程式が得られます。

　$\,2mp+2np-mnp=4m\,$ …… ①

この等式の左辺を$\;p\;$で括くくると，

　$\,p(2m+2n-mn)=4m\,$ …… ②

となり，$\,2m+2n-mn$ が正の数であることが分かります。

それを満たす整数の組 $(m,\;n)$ を求めることで，
①を満たす $(m,\;n,\;p)$ も求められると考えられます。

解答

この課題学習のテーマは，次の問題を解くことで
解決に近づける目途めどが立ってきました。

早くも候補が５通りに！

結論を先に言いますと，この５通りが，
正多面体の５種類の１つ１つに対応します。

筆者は，この段階で５通りに絞しぼり込めるとは
予想していませんでした。

筆者の予想では，十中八九，
この段階では余計な $(m,\;n)$ も出てきて，
それを１つ１つ検証して妥当なものを残すと
５つになるという流れかと思っていました。

ですので，この時点で５通りしか出てこなかったことには
結構驚きました。

これが偶然なのか必然なのかは筆者には分かりませんが，
ここでもまた，数学の凄すごみを見せつけられた気がします。

面の数$\;p\;$を求める

以上の検討は，もともとは，次の等式が成り立つような
$(m,\;n,\;p)$ を求めるためのものでした。

　$\,p(2m+2n-mn)=4m\,$ …… ②

$\,m\;$，$n\;$の値の組み合わせは既に分かっていますから，
それを②に代入することで，
$\,m\;$，$n\;$，$p\;$の値の組み合わせを得ることができます。

\begin{eqnarray*}
(m,\;n,\;p)&=&(3,\;3,\;4),\ (3,\;4,\;6),\ (3,\;5,\;12),\\
&&(4,\;3,\;8),\ (5,\;3,\;20)
\end{eqnarray*}

計算は簡単なので省略しましたが，
気になる方はご自身で確認してみてください。

文字の値の組み合わせが意味するところを検証する

さて，$m\;$，$n\;$，$p\;$の意味は，
正$\;p\;$面体で，１つの頂点に正$\;n\;$角形が$\;m\;$枚集まっている
というものでした。

従って，上記の $(m,\ n,\ p)$ は，次のような意味になります。

• $(m,\;n,\;p)=(3,\;3,\;4)$
  正四面体で，１つの頂点に正三角形が$\;3\;$枚集まっている。
• $(m,\;n,\;p)=(3,\;4,\;6)$
  正六面体で，１つの頂点に正四角形が$\;3\;$枚集まっている。
• $(m,\;n,\;p)=(3,\;5,\;12)$
  正十二面体で，１つの頂点に正五角形が$\;3\;$枚集まっている。
• $(m,\;n,\;p)=(4,\;3,\;8)$
  正八面体で，１つの頂点に正三角形が$\;4\;$枚集まっている。
• $(m,\;n,\;p)=(5,\;3,\;20)$
  正二十面体で，１つの頂点に正三角形が$\;5\;$枚集まっている。

見事に，実在する５種類の正多面体の性質を言い表しています。

そして，等式②を満たす整数の組み合わせ $(m,\;n,\;p)$
（ただし，$m\geqq 3$，$n\geqq 3$，$p\geqq 1$）は
上の５通りだけであることが証明できていますので，
これで，正多面体が５種類しかないことが証明できたと言って
よいのではないかと思います。

次ページの内容

ここまでで，このテーマに対する答えが得られたわけですが，
途中で出てきた $2mp+2np-mnp=4m$ …… ① という
等式の変形については，
もう１つ有効な方法が見つかりました。

次ページでは，補足として，
その方法を紹介したいと思います。