【課題学習のテーマ】正多面体がよく知られている５種類しかないことの代数的な証明

前ページまでのあらすじ

正多面体が５種類しかないことの
代数的な証明について考えています。

正$\;p\;$面体の１つの頂点に正$\;n\;$角形が$\;m\;$枚集まるとしたとき，
その正多面体の頂点の数は$\;\dfrac{np}{m}\;$，辺の数は$\;\dfrac{np}{2}\;$となります。

それらをオイラーの多面体定理に代入して整理すると，
次の等式が得られます。

　$\,2mp+2np-mnp=4m\,$ …… ①

この等式を満たす$\;m\;$，$n\;$，$p\;$の値の組み合わせ
$(m,\;n,\;p)$ を求めたいのですが，
どうしたらよいでしょうか。

等式①に対して，筆者が試した式変形は次の通りです。

　$\,p(2m+2n-mn)=4m\,$ …… ②

左辺で共通因数$\;p\;$を括くくりだしただけです。

工夫も何もあったものではないですね。

こんな式変形だからこそ
筆者くらいの者にもできたと言えばそれまでですが。

しかしながら，このセンスの欠片かけらもない式変形で
出てきた等式②は，重要な情報を含んでいるのです。

前ページでも述べた通り，
ここで使用している文字の意味を考えると，
$\;m\;$，$n\;$，$p\;$は正の整数で，
しかも $m\geqq 3$，$n\geqq 3$ です。

それを念頭に，等式②を見ていきます。

まず，等式②の右辺は明らかに正の値です。
従って，当然ながら左辺も正の値になります。

一方，等式②の左辺は $p$ と $2m+2n-mn$ の積であり，
それが正の値になるわけですが，
$\,p\;$が正の値であることから，
$\,2m+2n-mn$ も正の値であることがわかります。

筆者はそれに気づいたとき，おやっと思いました。

$m$ や $n$ は，どちらも $3$ 以上の整数です。
従って，$2m$ や $2n$ よりは，$mn$ の値の方が大きいです。

そしてその差は，$m$ や $n$ の値が大きいほど大差になります。

にもかかわらず，$2m+2n-mn$ は正の値だと言うのです。
それは，$mn$ が $2m$ や $2n$ より圧倒的に大きければ，
起こりえないことです。

従って，$m$ と $n$ は
あまり大きな値になれないのではないかという推測が立つのです。

実際，試しに $m=10$，$n=10$ の場合を考えると，
$\,2m+2n-mn=-80$ です。
$\,0\;$よりだいぶ小さい負の値です。

つまり，$m=10$，$n=10$ くらいでも，
$\,m\;$，$n\;$の値は大きすぎて問題外であると考えられます。

ということで，$2m+2n-mn$ が正の値になるような
$\,3\;$以上の整数$\;m\;$，$n\;$の組み合わせを調べれば，
等式①や②を満たす $(m,\ n,\ p)$ の候補も
かなりの程度絞しぼり込めることが期待できます。

$2m+2n-mn$ が正の値であることは，
等式②を満たすための必要条件ですが，
十分条件であるとは言えません。

つまり，$2m+2n-mn$ は正の値になるけれども
等式②を満たす正の整数$\;p\;$が存在しないような
$\,m\;,\;n\;$の組み合わせ $(m,\;n)$ が出てくる可能性が
あるということです。

従って，$2m+2n-mn$ が正の値になる
$(m,\;n)$ を求めた後，その１つ１つについて，
等式②を満たす正の整数$\;p\;$が存在するかどうかを
確認する必要があります。

本記事のテーマに対する解答として，
正多面体が５種類しかないことの代数的な証明を示します。