【課題学習のテーマ】正多面体がよく知られている５種類しかないことの代数的な証明

導入　テーマの概要

正多面体の種類

中１数学で学ぶように，
正多面体は５種類しかありません。

正四面体，正六面体（立方体），正八面体，
正十二面体，正二十面体の５種類です。

各多面体の頂点，面，辺の数なども含めて一覧表にすると，
次のようになります。

正多面体がこの５種類しかないことについては，
図形的な証明もありますが，
なかなか面白い形で代数的な証明ができた（と思う）ので，
その思考を追体験していただきたいというのがこのテーマです。

このテーマについて考えるための準備

オイラーの多面体定理

その代数的な証明には，
オイラーの多面体定理を使いました。

中学・高校の数学の学習段階で重要な定理ではありませんが，
中１数学の教科書でも軽く触れられることがあるので，
中学生や高校生でも，
この等式に見覚えのある人もいるかも知れません。

この定理に馴染なじみのない方は，
前出の正多面体の一覧表を使って，
この等式が成立することを確かめてみるとよいでしょう。

この課題学習のテーマでは，
この定理が成り立つことを前提にします。

正多面体の頂点や辺の数を計算する問題

中１数学としては，
学習に余裕のある人向けという扱いになるようですが，
次のような問題が出題されることがあります。

前出の一覧表を丸暗記していれば何も考えずに答えられますが，
丸暗記している人などごく少数でしょうし，
覚えていなくても計算できるという問題です。

計算のコツとしては，
正十二面体を組み立てる前の正五角形１２枚を
思い浮かべることでしょう。ℹ️️正五角形の厚紙などを
想像するとよいと思います。

そして，それを組み立てて正十二面体を作るとき，
正五角形の頂点がいくつ集まって
正十二面体の頂点１つができるかを考えます。ℹ️️正多面体の条件として，
「全ての頂点に同じ数の面が集まる」
というのがありましたね。
それを念頭に置いています。

前出の表にもあるように，
正十二面体は，１つの頂点に正五角形が３つ集まります。ℹ️️本問を解くためには
このことを知っている必要があるわけですが，
１つの頂点に正五角形を４つ以上集めようとすると，
角の合計が $360^\circ$ を超えて
展開図が描かけなくなることから，
３つだと判断することもできます。

つまり，正五角形の頂点３つが集まって
正十二面体の頂点１つができるわけです。

正五角形がバラバラの１２枚であれば，
頂点の数は全部で $5×12=60$ 個ですが，
それらが３つずつ集まるので，
正十二面体の頂点の数は $60\div 3=20$ 個となります。

辺についても同じように考えます。

正五角形がバラバラの１２枚であれば，
辺の数は全部で $5×12=60$ 本ですが，
それらが２本ずつ集まって正十二面体の辺１本になるので，
正十二面体の辺の数は $60\div 2=30$ 本となります。

文字の値が整数であることが前提の方程式

高校数学Ａの，整数の性質に関する単元で，
次のような問題が出題されることがあります。

これだけあれば，正多面体が５種類しかないことが証明できる

上記のことが理解できていれば，
正多面体が５種類しかないことを，
方程式を使って証明することができます。

腕に覚えのある人は，
ぜひこの時点で証明に挑戦してみてほしいと思います。ℹ️️高校生以上の方を想定していますが，
上記のことが理解できていれば，
中学生でも解決できる可能性はありそうです。

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この問題に対する最低限のヒントを示します。