前ページまでのあらすじ
教科書や参考書には，次の形の半角の公式が
載っていることがあります。
$\tan^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}$ …… ①
この記事では，この公式には次のような改良版が
考えられるのではないかと考え，検討してきました。
$\tan\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$ …… ②
$\tan\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{\sin\theta}$ …… ③
前ページまでで，②は公式として問題なく使えそう，
③は使えなくはないものの注意を要するという結論に
至っています。
なお，前ページでは，②と③を直接導くのではなく，
次の２つの等式を導いてから，
$\theta$ を $\dfrac{\theta}{2}$ に置きかえて②，③を得るという手順を採用しました。
$\tan\theta=\dfrac{\sin 2\theta}{1+\cos 2\theta}$ …… ④
$\tan\theta=\dfrac{1-\cos 2\theta}{\sin 2\theta}$ …… ⑤
解説２ 公式の導出過程の精査
公式を導く式変形のどこがまずかったのか
前ページに書いた通り，等式③は，
両辺の定義域が一致しないため，
公式として使うには注意を要します。
前ページでは，等式③と実質的に同じ等式⑤を
式変形で導いたのですが，
その式変形にまずいところがあったのでしょうか。
分子と分母に $\sin\theta$ をかけたのが安易だった
等式⑤を導く途中で，次のような変形を行っています。
$\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{2\sin^2\theta}{2\sin\theta\cos\theta}$ ……（※１）
分子と分母に，$2\sin\theta$ をかけているわけですね。
分子と分母に同じ数をかけても値は変わらないので，
問題なさそうに見えます。
しかし，これがまずかったのです。
分子と分母に，値が $0$ になる可能性のある式をかけてはいけない
つい先程，「分子と分母に同じ数をかけても値は変わらない」
と書きましたが，それは当然，
「同じ数」が $0$ でないことが大前提ですよね。
分子と分母に $0$ をかけたら，$\dfrac{0}{0}$ となって，
値が定義できなくなってしまいますから。
前述の通り，（※１）の式変形は，
分子と分母に $2\sin\theta$ をかけるというものです。
これは，$2$ をかけてから $\sin\theta$ をかけるのと同じです。
分子と分母に $2$ をかけるのは構いません。
$2$ が $0$ と等しくなることはありませんので。
しかし，$\sin\theta$ は $0$ と等しくなる可能性があります。
従って，$\sin\theta$ を分子と分母にかけるのであれば，
それは「$\sin\theta\;$$\neqq$$\,0$ のとき」とし，
$\sin\theta=0$ となる場合については別に調べる必要があったのです。
定義域が変化したのもこのタイミング
前ページで問題になった「定義域の違い」が生じたのも，
このタイミングです。
実際，（※１）の両辺は，定義域が一致していません。
（※１）の左辺の式の値が定義できないのは，
$\cos\theta$ が $0$ になるときですから，
$\theta=\dfrac{(2n+1)\pi}{2}$ （ $n$ は整数）
と表せるときだけです。
一方，（※１）の右辺は，$\cos\theta=0$ の場合のほか，
$\sin\theta=0$ となる場合も，値が定義できなくなります。
これは，
$\theta=\dfrac{n\pi}{2}$ （ $n$ は整数）
と表せるときですから，左辺の値が定義できるにもかかわらず，右辺の値が定義できないケースがあることが分かります。
もう一方の等式が大丈夫だったのはなぜか
公式として検討中の等式②，③のうち，
③を導くときの式変形に穴があったことは，前述の通りです。
では，②はどうだったのでしょうか。
前ページでは，等式②と実質的に同じ等式④を式変形で
導いたのですが，その途中で，
次のような変形を行っています。
$\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{2\sin\theta\cos\theta}{2\cos^2\theta}$ ……（※２）
分子と分母に $2\cos\theta$ をかけていますね。
$2$ をかけるのはよいとして，
$\cos\theta$ をかけているのがどうなのかです。
これは，結果的には大丈夫です。
（※２）の左辺は，分母が $\cos\theta$ ですから，
$\cos\theta=0$ となる $\theta$ についてのみ値が定義できず，
それ以外の場合は定義できます。
従って，$\cos\theta\;$$\neqq$$\,0$ の場合については，
分子と分母に $\cos\theta$ をかけても値は変わらないため，
（※２）の等号は文句なく成立します。
一方，$\cos\theta=0$ の場合に，
（※２）の両辺のうち片方だけ値が定義できるなんてことが
あるとまずいのですが，
（※２）の場合は両辺とも定義できないので
大丈夫だったというわけです。
どうやら１つは，新しい公式として採用できそう
ということで，等式②は，
新しい半角の公式として採用しても大丈夫のようです。
となると，問題は，新しい公式に
存在価値があるかどうかです。
すなわち，この公式②を使うと，
教科書に載るタイプの公式①を使う場合に比べて，
計算が楽になるとか，問題が解きやすくなるといった利点が
あるかどうかです。
次ページの内容
新しい公式として採用できそうな等式②の存在価値について
考えます。