【課題学習のテーマ】半角の公式 $\left(\tan\frac{\theta}{2}\right)$ の別の形を見つける

前ページまでのあらすじ

教科書や参考書には，次の形の半角の公式が
載のっていることがあります。

しかし，図による考察で，$\theta$ が鋭角でも鈍角でも，
次の等式が成り立つことが分かりました。

$\tan\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$ ……（※１）

この等式は，もしかしたら常に成り立つのでは？
そしたら，これを公式として使えるのでは？
…との期待感から，いっそのこと（※１）の証明に
挑戦してみようかという話になっています。

実際，$\tan^2$ の値しか求められず， $\tan$ の値が確定しない公式③より，よっぽど使いやすい式ですから。

なお，（※１）を証明しようとすると，$\dfrac{\theta}{2}$ が多数出てきて，
式が煩雑はんざつになりそうです。
次の等式を証明してから，$\theta$ を $\dfrac{\theta}{2}$ に置きかえて
（※１）を得るという方針で考えるとよいでしょう。

$\tan\theta=\dfrac{\sin 2\theta}{1+\cos 2\theta}$ ……（※２）⚠️前ページまでの（※２）とは別です。

解説１　新しい公式

得られた等式の証明

（※２）の証明を試みる場合，右辺から式変形を始めて，
左辺の形を目指す方が，その逆（左辺から右辺）に比べると簡単そうです。
２倍角の公式がありますから。

では，（※２）の証明に挑戦してみます。

終わり。
別段，難しくもありませんでした。

どこも間違っていないですよね。

筆者は，このサイトの記事を自分だけで検証して
公開しているので，何か穴がある可能性もありますが，
筆者はこの証明は大丈夫だろうと判断しています。⚠️しかし，この証明の過程には，
危あやうい部分もありました。
詳しくは後述。

つまり筆者は，結論として，
（※１）は半角の公式として使えると考えています。

半角の公式の候補はまだある

上の証明について，もしも（※２）の左辺，
つまり $\tan\theta$ から始めるとどうなるかを考えてみました。

先ほどの式変形を逆にたどる感じですね。

途中，分子と分母に $2\cos\theta$ をかけるという変形が出てきます。
そこがやや思いつきにくい気がします。

$\sin$ と $\cos$ の均衡を崩している式変形に注目

この式変形ですが，第２辺の「$\,\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\,$」の時点では
$\sin$ と $\cos$ が同数の式だったところを，
途中から $\cos$ が多く出てくる式に変形して進めていますね。

三角関数の世界において，
$\sin$ と $\cos$ は対称性が強い印象があります。

例えば，$\sin$ と $\cos$ が同数ずつ出てくる公式は，
以下のように，たくさんあります。

• $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$
• $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$
• $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\theta$，$\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin\theta$ など
• 三角関数の加法定理（「$\sin(\alpha+\beta)=～$」など）の右辺

他にも，$\sin\theta+\cos\theta=\style{font-size: 110%}{\text{（定数）}}$ の両辺を２乗すると
$\sin\theta\cos\theta$ の値が求められるなどの例もあります。

このように，$\sin$ と $\cos$ は
対になって出てくる場面がやたら多いという印象は，
多くの人が持っているのではないかと思います。

一方で，上記の証明で行った式変形は，
$\sin$ と $\cos$ の個数が同じという均衡きんこう状態を，
$\cos$ を増やすことでわざわざ崩くずしながら
式変形を進めているわけです。

それなら，$\sin$ を増やすことで均衡を崩したらどうなるか，
気になりません？
うずうずしません？

筆者はちょっとだけうずうずしたので，試してみました。

…また，別の形の式 が出てきましたね。

$\theta$ を $\dfrac{\theta}{2}$ に置きかえると

$\tan\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{\sin\theta}$

となるわけですが，これもまた，
$\tan$ の半角の公式として使っても問題ないのでしょうか？

並べて見比べてみる

ここで導いた等式に番号を付けつつ，
前に導いた等式と見比べてみましょう。

これらの式の $\theta$ を $\dfrac{\theta}{2}$ に置きかえて，
半角の公式として使えそうな形にすると，
次のようになります。

右辺どうしが等しいことの確認

実際，$\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1$ を次のように変形すると，
（※１）と（※３）の右辺，（※２）と（※４）の右辺が
それぞれ等しいことが確認できます。

そしてもちろん，この等式の $\theta$ を $2\theta$ に置きかえると，
（※２）と（※４）の右辺が等しいことも分かるわけです。

これまでの議論には，危うい点がある

それでは，（※１）や（※３）は，
どちらも半角の公式として使えると考えてよいでしょうか。

筆者の結論を書きますと，
「（※１）は使えるが（※３）は若干危あやうい」
と考えています。

どこが危ういか，お分かりになるでしょうか。

この問いかけは，非常に難しいと思います。
もしも，高校生がこの記事を読んでいて，
この問いかけに的確に答えられるなら，その人はぜひ，
将来数学教育を志こころざしてほしいと思うくらいです。

なので，これについては考えていただくことを想定せず，
さっさと答えを書いてしまいます。

公式の左辺と右辺で，定義域が異なるのはまずい

（※３）を公式と考えた場合，どこがまずいかというと，
左辺の定義域と右辺の定義域が一致しないことです。

$\tan\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{\sin\theta}$ ……（※３）

数値を求めるタイプの公式の多くは，
値を求めたい式を左辺に，その手段を右辺に書きます。
（※３）も，それに当てはまります。

では，数学の公式で，
左辺の定義域と右辺の定義域が一致しない場合，
何がまずいのでしょうか。

「左辺の定義域と右辺の定義域が一致しない」とは，
次の２つのうち，少なくとも一方に該当するということです。
（ここでは，公式に含まれる変数を $\theta$ としています。）

1. 左辺の値が定義できるにもかかわらず，
   右辺の値が定義できないような変数 $\theta$ の値が存在する。
2. 左辺の値が定義できないにもかかわらず，
   右辺の値が定義できるような変数 $\theta$ の値が存在する。

(A) と (B) のそれぞれについて，
どのようにまずいのかを検討しましょう。

(A) の場合

ここからしばらく，変数 $\theta$ に代入したい具体的な値を
$\alpha$ で表すことにします。

そして，変数 $\theta$ の値が $\alpha$ であるとき，
左辺の値が定義できる（存在する）にもかかわらず，
右辺の値は定義できない（存在しない）とします。

（※３）を公式として使うケースを考えてみましょう。

公式を使う人は，$\tan\dfrac{\alpha}{2}$ の値を求めたいと考え，
（※３）の右辺に $\theta=\alpha$ を代入します。

$\tan\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$

しかし，右辺では，（分母が $0$ になるなどの理由で）
値が定義できないことがわかったとします。

このとき，公式を使う人は，$\tan\dfrac{\alpha}{2}$ は
値が定義できないと判断してしまうでしょう。
本当は定義できるにもかかわらずです。

これは，公式として大きな欠点と言うべきでしょう。

（※１）や（※３）には，それが実現してしまうような
$\theta$ の値は存在するでしょうか。

特に難しくないと思いますので，興味のある方は，
ぜひ考えてみてください。

(B) の場合

変数 $\theta$ の値が $\alpha$ であるとき，
左辺の値が定義できない（存在しない）にもかかわらず，
右辺の値は定義する（存在できる）とします。

（※３）を公式として使うケースを考えてみましょう。

公式を使う人は，$\tan\dfrac{\alpha}{2}$ の値を求めたいと考え，
（※３）の右辺に $\theta=\alpha$ を代入します。

$\tan\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$

そして，右辺を計算して値を算出できたり，
あるいは計算できないまでも，
右辺の値が存在することが確認できたりするわけです。

これは，明確に危険なことです。

$\tan\dfrac{\alpha}{2}$ は，本当は値が定義できないのです。
にもかかわらず，公式を使った人は，
値が定義できると判断してしまうわけですから。

（※１）と（※３）には，それが実現してしまうような
$\theta$ の値は存在するでしょうか。

こちらについてもぜひ，考えてみてください。

導いた公式（の候補）の安全性

改めて，（※１）と（※３）は次の通りです。

それでは，（※１）と（※３）の両辺の定義域について
検証していきます。

（※１）と（※３） の左辺

$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ の値が定義できないのは，
分母の $\cos\theta$ が $0$ になってしまう場合です。

したがって，

$\theta=n\pi+\dfrac{\pi}{2}$　（$n$ は整数）

と表せるとき，$\tan\theta$ の値は定義できません。

そして，それ以外の場合は，$\tan\theta$ の値は定義できます。

（※１）と（※３）の左辺は，いずれも $\tan\dfrac{\theta}{2}$ です。

その値が定義できないのは，

$\dfrac{\theta}{2}=n\pi+\dfrac{\pi}{2}$　（$n$ は整数）

と表せるとき，つまり，

$\theta=(2n+1)\pi$　（$n$ は整数）

と表せるときであり，それ以外では定義できることになります。

$\theta$ が $\pi$ の奇数倍でなければよい，ということですね。

（※１）の右辺

$\sin\theta$ や $\cos\theta$ は，$\theta$ がどんな実数であっても定義できます。

ですから，（※１）の右辺 $\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$ の値は，
$1+\cos\theta=0$，つまり $\cos\theta=-1$ でない限り，
定義できることになります。

$\cos\theta=-1$ となるのは

$\theta=(2n+1)\pi$　（$n$ は整数）

と表せるときであり，それ以外の値の全体が
（※１）の右辺の定義域になるので，
（※１）は両辺の定義域が一致すると言えます。

（※３）の右辺

（くり返しになりますが，）$\sin\theta$ や $\cos\theta$ は， $\theta$ がどんな実数であっても定義できます。

ですから，（※３）の右辺 $\dfrac{1-\cos\theta}{\sin\theta}$ の値は，
$\sin\theta=0$ でない限り，定義できることになります。

$\sin\theta=0$ となるのは

$\theta=n\pi$　（$n$ は整数）

と表せるときです。

（※３）の右辺の値が定義できるためには，
$\theta$ が $\pi$ の整数倍であってはいけないわけですね。

これは，（※３）の左辺と異なっています。

（※３）の左辺の $\tan\dfrac{\theta}{2}$ は，
$\theta$ が $\pi$ の奇数倍であるときは定義できませんが，
$\theta$ が $\pi$ の偶数倍であるときは定義できます。

しかし，（※３）の右辺の値は，
$\theta$ が $\pi$ の偶数倍であるときも定義できないのです。

つまり，上記の

1. 左辺の値が定義できるにもかかわらず，
   右辺の値が定義できないような変数 $\theta$ の値が存在する。

に該当してしまうわけです。

ですから，（※３）を公式として使いたければ，
次のように場合分けする必要があります。ℹ️️両辺ともに値が定義できない場合は
除いています。

\[\tan\dfrac{\theta}{2}=
\left\{
\begin{eqnarray*}
&&\ \ 0&\text{（}\theta=2n\pi　n\ \text{は整数）}\\
&&\dfrac{1-\cos\theta}{\sin\theta}\vphantom{\Large\dfrac{1}{1}}　&\text{（それ以外）}
\end{eqnarray*}
\right.
\]

これはちょっと使いにくいんじゃないですかね。

ということで，筆者は，
公式として使うなら（※１）の方が良いと考えています。

そして，筆者の考えに誤りがなければ，
（※１）は公式として利用しても問題ないと思います。

次ページの内容

（※１）は公式として使えますが，
（※３）は使うなら場合分けが必要という結論になりました。

しかし，（※３）もしっかり証明したはずです。
一体どこに問題があったのでしょうか。
そして，（※３）の証明に問題があったのだとすれば，
（※１）の証明は大丈夫だったのでしょうか。

そのあたりについて，次ページで考えていきます。