【課題学習のテーマ】半角の公式 $\left(\tan\frac{\theta}{2}\right)$ の別の形を見つける

前ページまでのあらすじ

この記事では，$\tan$ の半角の公式について検討しています。

教科書や参考書に載のっている公式は次の通りです。

しかし，次の図を使って検討した結果，
$\theta$ が鋭角の場合に限りますが，
$\tan^2\dfrac{\theta}{2}$ ではなく $\tan\dfrac{\theta}{2}$ を
$\sin\theta$，$\cos\theta$ の式で表すことができました。

図 5-1

その等式は，次の通りです。

　　$\tan\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$ ……（※１）⚠️こちらはまだ，
$\theta$ が鋭角のときに成り立つことしか
分かっていないことに注意してください。

また，式変形による検討の結果，任意の $\theta$ について，
次の等式が成り立つことが分かりました。

　　$\tan\dfrac{\theta}{2}=\pm\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$ ……（※２）

残った疑問は，次の２つです。

• $\theta$ が鈍角であるとき，図による分析は可能なのか。
• （※２）の右辺の「$\pm$」は，$\theta$ がどのような値のときに
  「$+$」になり，あるいは「$-$」になるのか。

このページでは，これらの疑問について考えていきます。

ヒント３（最終） 図形的なアプローチ（任意の鈍角）

ヒントとしてはここが最終段階になります。

まだ答えそのものではないので「ヒント」と称していますが，
極めて答えに近い内容です。

図による考察（$\theta$ が鈍角のとき）

$\theta$ が鈍角である場合，つまり $\dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi$ である場合でも，
$\theta$ が鋭角のときの図 5-1と同様の図を描かいて，
似たような考察を行うことは可能でしょうか。

内角の二等分線ではなく，外角の二等分線を使う

直角三角形において，直角以外の２つの内角は鋭角になります。

だから，$\theta$ が鋭角のときは，直角三角形の内角の大きさを $\theta$ とし，次の定理を利用できたわけです。

定理　三角形の内角の二等分線と線分の比

$\rm\triangle ABC$ の $\rm\angle\,A$ の二等分線と辺 $\rm BC$ の交点を$\rm D$ とするとき，

　　$\rm AB:AC=BD:DC$

今回は，$\theta$ が鈍角の場合を考えたいので，同じ手法は使えません。

しかし，「直角三角形の直角以外の内角は鋭角」を
逆手に取ってみましょう。
内角が鋭角なら，外角は必ず鈍角になりますよね。

しかも，都合のいいことに，
上記の定理は，外角の二等分線に関するものもあります。

定理　三角形の外角の二等分線と線分の比

$\rm\triangle ABC$ の $\rm\angle\,A$ の外角の二等分線と辺 $\rm BC$ の延長線の交点を $\rm D$ とするとき，

　　$\rm AB:AC=BD:DC$

教科書にも載のっているはずです。
内角の二等分線に比べてややこしいパターンとして
印象に残っている人も多いでしょう。ℹ️️上の２つの定理は，
点$\;\rm A\;$～$\;\rm D\;$になるべく似た役割を与えながら図を描かくと，
成り立つ比例式が完全に同一になるという特徴があります。
それが分かっていれば，外角に関する定理も，
決して思い出しにくくはないです。

この定理があるとなれば，試すべきことは１つです。

直角三角形の直角以外の内角（つまり鋭角）を１つ選び，
その外角の大きさを $\theta$ とおいて，
外角の二等分線をひいてみることにしましょう。

鈍角用に改変した図

$\theta$ が鋭角のときの考察に利用した図 5-1を手直しし，
次の図図 5-2を作りました。

図 5-1（対比のため再掲）

図 5-2

図を改変する時は，点の役割をなるべく変えない

このような図の改変では，
「同じ名前を持つ点の役割をなるべく変えないこと」
が重要なコツです。

ここでは，次のような対比になっています。

その効果は，すぐに明らかになります。

$\rm AB$，$\rm BC$ の長さに注意

$\rm AC$，$\rm BC$ の長さに注意しましょう。

　　$\rm AC=AB\cos\angle\,BAC=1\cdot\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta$
　　$\rm BC=AC\sin\angle\,BAC=1\cdot\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta$

$\rm AC$ の長さは $-\cos\theta$ となっていて，
負の符号が付いているのが不自然に見えますが，
負の数になる心配はありません。

$\dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi$ なので $\cos\theta<0$ であり，
$-\cos\theta$ はきちんと正の数になります。

$\rm BC$ の長さは，結果的には $\theta$ が鋭角のときと同じですが，
求め方は異なることに注意してください。

$\theta$ が鈍角の場合の考察

ではさっそく，$\theta$ が鈍角の場合について考えてみましょう。

$\theta$ が鋭角であるときの考え方と，よく似ていますね。
ちなみに，似ているのは考え方だけではありません。

酷似する証明

上に示した証明の文ですが，ところどころ，
不自然に赤文字が混ざっていますね。
これが何を意味しているか，お分かりになるでしょうか。

前ページで，$\theta$ が鋭角のときの証明を示しましたが，
その文章と異なる箇所が，上の赤文字なのです。
それ以外の部分（黒文字）は，一字たりとも違いません。ℹ️️パソコンでこのサイトを見ている方は，
別ウィンドウで２つの文章を並べて表示し，
見比べてみましょう。

異なっている部分は，割合にすると，
全体のわずか数％というところでしょう。

たったこれだけの改変で，
見た目はかなり異なる図についての証明として
成立してしまうのです。ℹ️️２つの図で，同じ名前の点に似た役割を持たせた効果が，ここに表れています。

式による考察（$\theta$ が鈍角のとき）

話を戻もどします。

図による論証をまとめると，$\theta$ が鋭角でも鈍角でも，

$\tan\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$ ……（※１）

が成り立つことが分かりました。

……本当ですかね？

前ページでは，教科書に載るタイプの
$\tan$ の半角の公式（③）をもとに式変形してみると，

$\tan\dfrac{\theta}{2}=\textcolor{#ff0000}{\pm}\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$ ……（※２）

であることが分かったのでした。

そして，この「$\pm$」について，どんな $\theta$ のときに「$+$」になり，
あるいは「$-$」になるのかが疑問として残ったのでした。

しかし，$\theta$ が鋭角でも鈍角でも，「$+$」だというのです。
それなら，一体どのような場合に，「$-$」が出てくるのでしょうか。

実を言うと，筆者は，（※２）の等式に気づいた時点では，
$\theta$ が鈍角のときに「$-$」が出てくると予想していたのです。
しかしその予想は外れ，鈍角でも「$+$」でした。ℹ️️もちろん，$\theta$ に鈍角の角度を１つ代入すれば，
その予想が外れていることは簡単に確認できるのですが，
試していませんでした。

強いて言うなら，$\theta$ は一般角なので， $\pi$（$180^\circ$）より大きい角や，
$0$（$0^\circ$）より小さい角（負の角）なんてものも，
考えに入れる必要があります。ℹ️️ついでに言うと，ここまでの議論では
$\theta=\rbdfrac(\pi)(2)$（直角）が抜けていることにも注意。

その広い範囲のどこかで，「$-$」が出てくるのでしょうか。

常に「＋」である可能性

筆者は，ここまで考えてようやく，（※２）の解釈に，
次の３つの可能性があることに気がつきました。

1. $\theta$ の値によって，「$+$」になったり「$-$」になったりする。
2. 実は常に「$+$」である。
3. 実は常に「$-$」である。

筆者は，(A) の可能性しか想定していなかったわけです。

でも，よく考えてみると，（※２）はもともと，
次の等式から導いたものでした。

$\tan^2\dfrac{\theta}{2}=\left(\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\right)^2$ ……（＊）

これを，「$\pm$」を使って（※２）の形に書き直したのが，
あまりよくなかったかもしれません。
（※２） の形だと，$\theta$ の値によって，
「$+$」になったり「$-$」になったりするものだと思いがちです。

しかし，仮に (B) や (C) が真実であるとしても，
（＊）は問題なく成立しますからね。
完全に盲点もうてんになっていました。ℹ️️教科書や参考書に，半角の公式として
わざわざ $\small \tan^2$ の値を求める式が示されるくらいなので，
「１通りに決まるわけがない」と思いこんでいたことも
ありますけれども！ 

（※１）の証明に挑戦

$\theta$ の値によらず，（※２）の「$+$」，
つまり（※１）が成立するかもしれない。

ならばいっそのこと，（※１）が常に成り立つことの証明に
挑戦してみましょうか。

実は成り立たないのだとしても，
「$+$」になる場合と「$-$」になる場合を見分けるのに，
役に立つかもしれません。

証明の方針がまだ思い浮かんでいない人は，
ぜひ，次ページを見る前に挑戦してみてください。
練習問題として，それほど難しくないレベルです。

証明しやすくするために

（※１）を証明しようとすると，$\dfrac{\theta}{2}$ が多数出てきて，
煩雑はんざつなことになりそうです。

なので，次の等式を証明した上で，
$\theta$ を $\dfrac{\theta}{2}$ に置きかえて（※１）を得るという方針で
考えるとよいでしょう。

$\tan\theta=\dfrac{\sin 2\theta}{1+\cos 2\theta}$

次ページの内容

はたして，半角の公式として，
（※１）を採用してもよいのかどうか。

次ページで，いよいよその問題を決着させます。