前ページまでのあらすじ
この記事では，$\tan$ の半角の公式について検討しています。
教科書や参考書に載っている公式は次の通りです。
$\tan^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}$ …… ③
しかし，次の図を使って検討した結果，
$\theta$ が鋭角の場合に限りますが，
$\tan^2\dfrac{\theta}{2}$ ではなく $\tan\dfrac{\theta}{2}$ を
$\sin\theta$，$\cos\theta$ の式で表すことができました。
図 5-1
その等式は，次の通りです。
$\tan\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$ ……（※１）
また，式変形による検討の結果，任意の $\theta$ について，
次の等式が成り立つことが分かりました。
$\tan\dfrac{\theta}{2}=\pm\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$ ……（※２）
残った疑問は，次の２つです。
- $\theta$ が鈍角であるとき，図による分析は可能なのか。
- （※２）の右辺の「$\pm$」は，$\theta$ がどのような値のときに
「$+$」になり，あるいは「$-$」になるのか。
このページでは，これらの疑問について考えていきます。
ヒント３（最終） 図形的なアプローチ（任意の鈍角）
ヒントとしてはここが最終段階になります。
まだ答えそのものではないので「ヒント」と称していますが，
極めて答えに近い内容です。
図による考察（$\theta$ が鈍角のとき）
$\theta$ が鈍角である場合，つまり $\dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi$ である場合でも，
$\theta$ が鋭角のときの図 5-1と同様の図を描いて，
似たような考察を行うことは可能でしょうか。
内角の二等分線ではなく，外角の二等分線を使う
直角三角形において，直角以外の２つの内角は鋭角になります。
だから，$\theta$ が鋭角のときは，直角三角形の内角の大きさを $\theta$ とし，次の定理を利用できたわけです。
$\rm\triangle ABC$ の $\rm\angle\,A$ の二等分線と辺 $\rm BC$ の交点を $\rm D$ とするとき，
$\rm AB:AC=BD:DC$
今回は，$\theta$ が鈍角の場合を考えたいので，同じ手法は使えません。
しかし，「直角三角形の直角以外の内角は鋭角」を
逆手に取ってみましょう。
内角が鋭角なら，外角は必ず鈍角になりますよね。
しかも，都合のいいことに，
上記の定理は，外角の二等分線に関するものもあります。
$\rm\triangle ABC$ の $\rm\angle\,A$ の外角の二等分線と辺 $\rm BC$ の延長線の交点を $\rm D$ とするとき，
$\rm AB:AC=BD:DC$
教科書にも載っているはずです。
内角の二等分線に比べてややこしいパターンとして
印象に残っている人も多いでしょう。
この定理があるとなれば，試すべきことは１つです。
直角三角形の直角以外の内角（つまり鋭角）を１つ選び，
その外角の大きさを $\theta$ とおいて，
外角の二等分線をひいてみることにしましょう。
鈍角用に改変した図
$\theta$ が鋭角のときの考察に利用した図 5-1を手直しし，
次の図図 5-2を作りました。
図 5-1（対比のため再掲）
図 5-2
図を改変する時は，点の役割をなるべく変えない
このような図の改変では，
「同じ名前を持つ点の役割をなるべく変えないこと」
が重要なコツです。
ここでは，次のような対比になっています。
- $\rm\triangle ABC$ を，$\rm AB=1,\ \angle\,C=\dfrac{\pi}{2}$ の直角三角形とする。
- $\rm\triangle ABC$ で，$\rm\angle\,A$（内角）の大きさを $\theta$ とする。
- $\rm\triangle ABC$ で，$\rm\angle\,A$（内角）の二等分線と
辺 $\rm BC$ の交点を $\rm D$ とする。
- $\rm\triangle ABC$ を，$\rm AB=1,\ \angle\,C=\dfrac{\pi}{2}$ の直角三角形とする。
- $\rm\triangle ABC$ で，$\rm\angle\,A$ の外角の大きさを $\theta$ とする。
- $\rm\triangle ABC$ で，$\rm\angle\,A$ の外角の二等分線と
辺 $\rm BC$ の延長線の交点を $\rm D$ とする。
その効果は，すぐに明らかになります。
$\rm AB$，$\rm BC$ の長さに注意
$\rm AC$，$\rm BC$ の長さに注意しましょう。
$\rm AC=AB\cos\angle\,BAC=1\cdot\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta$
$\rm BC=AC\sin\angle\,BAC=1\cdot\sin(\pi-\theta)=\sin\theta$
$\rm AC$ の長さは $-\cos\theta$ となっていて，
負の符号が付いているのが不自然に見えますが，
負の数になる心配はありません。
$\dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi$ なので $\cos\theta<0$ であり，
$-\cos\theta$ はきちんと正の数になります。
$\rm BC$ の長さは，結果的には $\theta$ が鋭角のときと同じですが，
求め方は異なることに注意してください。
$\theta$ が鈍角の場合の考察
ではさっそく，$\theta$ が鈍角の場合について考えてみましょう。
$\rm AD$ が $\rm \angle\,BAC$ の外角の二等分線であることから，
$\rm AB:AC=BD:DC$
$\rm AB=1$，$\rm AC=\textcolor{#d00}{-}\cos\theta$ より，
$\rm 1:\textcolor{#d00}{(-}\cos\theta\textcolor{#d00}{)}=BD:DC$ …… (1)
$\rm BD$ と $\rm DC$ の長さを $\theta$ で表すと，
${\rm DC}={\rm AC}\tan{\rm \angle\,DAC}=\textcolor{#d00}{-}\cos\theta\tan\dfrac{\theta}{2}$
${\rm BD}={\rm BC}\textcolor{#d00}{+}{\rm DC}=\sin\theta-\cos\theta\tan\dfrac{\theta}{2}$
これらを (1) に代入すると，
$1:\textcolor{#d00}{(-}\cos\theta\textcolor{#d00}{)}=\left(\sin\theta-\cos\theta\tan\dfrac{\theta}{2}\right):\textcolor{#d00}{\left(-\vphantom{\dfrac{\theta}{2}}\right.}\cos\theta\tan\dfrac{\theta}{2}\textcolor{#d00}{\left.\vphantom{\dfrac{\theta}{2}}\right)}$
$\textcolor{#d00}{-}\cos\theta\tan\dfrac{\theta}{2}$$\vphantom{1}=\textcolor{#d00}{-}\cos\theta\left(\sin\theta-\cos\theta\tan\dfrac{\theta}{2}\right)$ …… (2)
$\textcolor{#d00}{\dfrac{\pi}{2}}<\theta<\textcolor{#d00}{\pi}$ より，$\cos\theta\;$$\neqq$$\,0$
よって，(2) の両辺を $\textcolor{#d00}{-}\cos\theta$ でわることができて，
$\tan\dfrac{\theta}{2}=\sin\theta-\cos\theta\tan\dfrac{\theta}{2}$
$\tan\dfrac{\theta}{2}+\cos\theta\tan\dfrac{\theta}{2}=\sin\theta$
$(1+\cos\theta)\tan\dfrac{\theta}{2}=\sin\theta$ …… (3)
$\textcolor{#d00}{\dfrac{\pi}{2}}<\theta<\textcolor{#d00}{\pi}$ より，$1+\cos\theta>0$
よって，(3) の両辺を $1+\cos\theta$ でわることができて，
$\tan\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$ ……（※１）
$\theta$ が鋭角であるときの考え方と，よく似ていますね。
ちなみに，似ているのは考え方だけではありません。
酷似する証明
上に示した証明の文ですが，ところどころ，
不自然に赤文字が混ざっていますね。
これが何を意味しているか，お分かりになるでしょうか。
前ページで，$\theta$ が鋭角のときの証明を示しましたが，
その文章と異なる箇所が，上の赤文字なのです。
それ以外の部分（黒文字）は，一字たりとも違いません。
異なっている部分は，割合にすると，
全体のわずか数％というところでしょう。
たったこれだけの改変で，
見た目はかなり異なる図についての証明として
成立してしまうのです。
式による考察（$\theta$ が鈍角のとき）
話を戻します。
図による論証をまとめると，$\theta$ が鋭角でも鈍角でも，
$\tan\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$ ……（※１）
が成り立つことが分かりました。
……本当ですかね？
前ページでは，教科書に載るタイプの
$\tan$ の半角の公式（③）をもとに式変形してみると，
$\tan\dfrac{\theta}{2}=\textcolor{#ff0000}{\pm}\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$ ……（※２）
であることが分かったのでした。
そして，この「$\pm$」について，どんな $\theta$ のときに「$+$」になり，
あるいは「$-$」になるのかが疑問として残ったのでした。
しかし，$\theta$ が鋭角でも鈍角でも，「$+$」だというのです。
それなら，一体どのような場合に，「$-$」が出てくるのでしょうか。
実を言うと，筆者は，（※２）の等式に気づいた時点では，
$\theta$ が鈍角のときに「$-$」が出てくると予想していたのです。
しかしその予想は外れ，鈍角でも「$+$」でした。
強いて言うなら，$\theta$ は一般角なので， $\pi$（$180^\circ$）より大きい角や，
$0$（$0^\circ$）より小さい角（負の角）なんてものも，
考えに入れる必要があります。
その広い範囲のどこかで，「$-$」が出てくるのでしょうか。
常に「＋」である可能性
筆者は，ここまで考えてようやく，（※２）の解釈に，
次の３つの可能性があることに気がつきました。
- $\theta$ の値によって，「$+$」になったり「$-$」になったりする。
- 実は常に「$+$」である。
- 実は常に「$-$」である。
筆者は，(A) の可能性しか想定していなかったわけです。
でも，よく考えてみると，（※２）はもともと，
次の等式から導いたものでした。
$\tan^2\dfrac{\theta}{2}=\left(\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\right)^2$ ……（＊）
これを，「$\pm$」を使って（※２）の形に書き直したのが，
あまりよくなかったかもしれません。
（※２） の形だと，$\theta$ の値によって，
「$+$」になったり「$-$」になったりするものだと思いがちです。
しかし，仮に (B) や (C) が真実であるとしても，
（＊）は問題なく成立しますからね。
完全に盲点になっていました。
（※１）の証明に挑戦
$\theta$ の値によらず，（※２）の「$+$」，
つまり（※１）が成立するかもしれない。
ならばいっそのこと，（※１）が常に成り立つことの証明に
挑戦してみましょうか。
実は成り立たないのだとしても，
「$+$」になる場合と「$-$」になる場合を見分けるのに，
役に立つかもしれません。
証明の方針がまだ思い浮かんでいない人は，
ぜひ，次ページを見る前に挑戦してみてください。
練習問題として，それほど難しくないレベルです。
証明しやすくするために
（※１）を証明しようとすると，$\dfrac{\theta}{2}$ が多数出てきて，
煩雑なことになりそうです。
なので，次の等式を証明した上で，
$\theta$ を $\dfrac{\theta}{2}$ に置きかえて（※１）を得るという方針で
考えるとよいでしょう。
$\tan\theta=\dfrac{\sin 2\theta}{1+\cos 2\theta}$
次ページの内容
はたして，半角の公式として，
（※１）を採用してもよいのかどうか。
次ページで，いよいよその問題を決着させます。