前ページまでのあらすじ
$\,\tan\;$の半角の公式について考えるための準備として，
$\,\tan 22.5^\circ$ の値を図形的に求める方法を紹介しました。
ここでは，前ページの図の $45^\circ$ を $\theta$ に，
$22.5^\circ$ を $\dfrac{\theta}{2}$ に置き換えて，
同じ考え方がどこまで通用するかを試してみます。
ヒント２ 図形的なアプローチ（任意の鋭角）
ヒントと称していますが，
ここから急速に答えに近づいていきます。
なるべく自力で考えたいとお考えの方はご注意ください。
前ページの考察は，直角二等辺三角形だったからできたわけではない
前ページでは，次の図をもとに，$\tan 22.5^\circ$ の値を求めました。
図 4-1
その計算過程は，別に，$\rm BC=CD$ だったから
可能だったわけではないですね。
$\rm \triangle DBC$ の３辺の長さがすべて分かっている必要はありますが，
それらの値を比例式に代入して解いただけであり，
$\rm BC=CD$ であることを利用したわけではありません。
となると，$45^\circ$ と $22.5^\circ$ という角でなくても，
似たような考え方がかなりの程度通用するのではないかと
期待できるわけです。
一般的な角 $\theta$ を使った図
次の図は，前ページの直角二等辺三角形の図を描きかえて，
大きさが $\theta$ の角を２等分するようにしたものです。
図 4-2
この図の特徴を整理しておきます。
- $\rm \triangle ABC$ は，$\rm \angle\,C=\dfrac{\pi}{2}（=90^\circ）$ の直角三角形。
- $\rm \angle\,BAC=\theta$ であり，$\rm AD$ は $\rm \angle\,BAC$ の
二等分線になっている。
この図に現れる線分の長さは
この図の通りでなくても構わないのですが，
ここでは直角三角形 $\rm ABC$ の斜辺 $\rm AB$ の長さを $1$ としました。
このとき，$\rm AC=\cos\theta$，$\rm BC=\sin\theta$ となることは大丈夫ですね。
図から導ける公式（のようなもの）
$\rm AD$ が $\rm \angle\,BAC$ の二等分線であることから，
$\rm AB:AC=BD:DC$
$\rm AB=1$，$\rm AC=\cos\theta$ より，
$\rm 1:\cos\theta=BD:DC$ …… (1)
$\rm BD$ と $\rm DC$ の長さを $\theta$ で表すと，
${\rm DC}={\rm AC}\tan{\rm \angle\,DAC}=\cos\theta\tan\dfrac{\theta}{2}$
${\rm BD}={\rm BC}-{\rm DC}=\sin\theta-\cos\theta\tan\dfrac{\theta}{2}$
これらを (1) に代入すると，
$1:\cos\theta=\left(\sin\theta-\cos\theta\tan\dfrac{\theta}{2}\right):\cos\theta\tan\dfrac{\theta}{2}$
$\cos\theta\tan\dfrac{\theta}{2}=\cos\theta\left(\sin\theta-\cos\theta\tan\dfrac{\theta}{2}\right)$ …… (2)
$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ より，$\cos\theta\;$$\neqq$$\,0$
よって，(2)の両辺を $\cos\theta$ でわることができて，
$\tan\dfrac{\theta}{2}=\sin\theta-\cos\theta\tan\dfrac{\theta}{2}$
$\tan\dfrac{\theta}{2}+\cos\theta\tan\dfrac{\theta}{2}=\sin\theta$
$(1+\cos\theta)\tan\dfrac{\theta}{2}=\sin\theta$ …… (3)
$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ より，$1+\cos\theta>0$
よって，(3)の両辺を $1+\cos\theta$ でわることができて，
$\tan\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$ ……（※１）
見事に，$\tan\dfrac{\theta}{2}$ を $\sin\theta$ と $\cos\theta$ で表す式が出てきました。
半角の公式として求められる要件は，
$\theta$ についての三角関数の値から，
$\dfrac{\theta}{2}$ についての三角関数の値が求められること
です。
（※１）は，その要件を満たしており，
半角の公式として使えそうな等式です。
そして何より，
教科書などに載る半角の公式（下記の③）とは違って，
$\tan\dfrac{\theta}{2}$ の値そのものを求められる式であることが強みです。
$\tan^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}$ …… ③
公式③は，できれば $\tan\dfrac{\theta}{2}$ の値が知りたいのに，
$\tan^2\dfrac{\theta}{2}$ の値しか求められないという意味で，
扱いにくいですから。
ここで導いた公式で十分と判断するのはまだ早い
では，教科書や参考書に載っている公式③は捨てて，
（※１）を公式として採用するということでよいでしょうか？
それはいけません。
少なくとも，まだだめです。
ここで導いた（※１）が，どんな角 $\theta$ でも成り立つかどうかを，まだ検討していないからです。
そもそも，この論証に使った図 4-2自体が，$\theta$ が鋭角の場合，
つまり $0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ の場合にしか描けない図ですから。
そして実際，上の論証の中で，
「$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ より，」という文言が２回出てきています。
要するに，この論証は $\theta$ が鋭角である場合に限って有効
だったわけです。
この等式（※１）は，$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ の範囲では
成り立つことが分かったので，その範囲内にある $\theta$ に限れば，
公式として使っても問題ないと言えます。
しかし，$\theta$ がその範囲にない場合は，（※１）が成り立たず
別の等式が成り立つといった可能性も大いにあります。
$\theta$ が鈍角の場合について，同様の図による分析は可能？
「$\theta$ が鋭角なら成り立つ」と言われたら，
「なら鈍角ではどうなんだ」と思う人が多いでしょう。
そして，鈍角のケースも図で，
しかも鋭角のときと似たような図で分析できないかと
考えるのも，自然な思考だと思います。
しかし，内角の１つが鈍角である直角三角形 $\rm ABC$
などというものは存在しません。
よって，鈍角のケースを図で分析することは不可能…
なのでしょうか？
ここは，興味のある人には少し考えてもらいたいポイントなので，
答えは次のページに譲ることにします。
式変形によるアプローチ
２つの等式が出てきたが，どっちが正しい？
ひとまず，$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ という狭い範囲ではありますが，
$\theta$ の値によらず成り立つ式（※１）が見つかりました。
しかし，$\tan\dfrac{\theta}{2}$ の値を求める式の表現が
１通りに決まらないことについては，
不自然さや不安を感じる人も多いでしょう。
教科書に載るタイプの半角の公式③と（※１）は，
一体どっちが正しいのかというわけです。
そもそも，（※１）の右辺を２乗したら，
③の右辺と一致するのでしょうか？
\begin{eqnarray*}
\left(\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\right)^2&=&\dfrac{\sin^2\theta}{(1+\cos\theta)^2}\\
&=&\dfrac{1-\cos^2\theta}{(1+\cos\theta)^2}\vphantom{\Large\dfrac{1}{1}}\\
&=&\dfrac{(1+\cos\theta)(1-\cos\theta)}{(1+\cos\theta)^2}\vphantom{\Large\dfrac{1}{1}}\\
&=&\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\vphantom{\Large\dfrac{1}{1}}
\end{eqnarray*}
なるほど，きっちり $\tan^2\dfrac{\theta}{2}$ の式と一致するんですね。
このように，三角関数では，一見すると全く異なる式が
実は恒等的に等しいということがよくあります。
従って，③と（※１）のどちらも正しいという可能性は十分あり，既に矛盾が生じているのではないかと怪しむ理由は
特にないと言えます。
この式変形を逆にたどると…
この式変形を逆にたどると，次のようになります。
\begin{eqnarray*}
\tan^2\dfrac{\theta}{2}&=&\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\\
&=&\dfrac{(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)}{(1+\cos\theta)^2}\vphantom{\Large\dfrac{1}{1}}\\
&=&\dfrac{1-\cos^2\theta}{(1+\cos\theta)^2}\vphantom{\Large\dfrac{1}{1}}\\ &=&\dfrac{\sin^2\theta}{(1+\cos\theta)^2}\vphantom{\Large\dfrac{1}{1}}\\
&=&\left(\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\right)^2\vphantom{\Large\dfrac{1}{1}}
\end{eqnarray*}
$\tan$ の半角の公式③を見慣れている人でも，
その右辺の $\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}$ を変形すると，
ある式の２乗の形で表せることには，
気づいていないことが多いのではないかと思います。
何の脈絡もなく分子と分母に $(1+\cos\theta)$ をかけているところが，
少しトリッキーで気づきにくいですからね。
普通であれば，まず試すことのない式変形と言えるでしょう。
しかし，これは重要な情報です。
式変形の結果を改めて見てみましょう。
すなわち，$\tan\dfrac{\theta}{2}$ と $\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$ は，
それぞれの２乗が互いに一致すると言うのです。
ただし，
と判断するのは早合点ですよ。
正しくは次の通りです。
プラスマイナス（$\pm$）が付くんですね。
プラスマイナス（±）の解釈
（※２）は，「$\pm$」が付いたとはいえ，
$\tan^2$ ではなく $\tan$ の値を直接求められる式になっています。
その意味では，$\tan$ の半角の公式（①）より
使いやすい式になっていると言えるのではないかと思います。
ただ，$\theta$ がどのような値のときに「$+$」になり，
あるいは「$-$」になるのかは，
可能ならばはっきりさせておきたいところです。
次ページの内容
このページでは，次の２点について疑問が残りました。
- $\theta$ が鈍角であるとき，図による分析は可能なのか。
- （※２）の右辺の「$\pm$」は，$\theta$ がどのような値のときに
「$+$」になり，あるいは「$-$」になるのか。
次ページでは，これらの点について調べていきます。