【課題学習のテーマ】半角の公式（tan）の別の形を見つける

テーマの概要

三角関数の半角の公式

高校数学Ⅱの【三角関数】で扱われる「半角の公式」は，
以下の３つがあります。

半角の公式 $\left(\,\sin\rbfrac(\theta)(2)\;,\;\cos\rbfrac(\theta)(2)\,\right)$

$\sin^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{2}$ …… ①

$\cos^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1+\cos\theta}{2}$ …… ②

（教科書に載るタイプの）半角の公式 $\left(\,\tan\rbfrac(\theta)(2)\,\right)$

$\tan^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}$ …… ③

$\tan$ の半角の公式（③）は，
載のせていない教科書もありますが，
載せるとしたら上記の形になるようです。ℹ️️
（筆者はこの形以外見たことない）

半角の公式に対する不満

半角の公式の存在意義は，
$\theta$ についての三角関数の値（$\sin\theta$，$\cos\theta$，$\tan\theta$）から
$\dfrac{\theta}{2}$ についての三角関数の値 $\left(\sin\dfrac{\theta}{2},\ \cos\dfrac{\theta}{2},\ \tan\dfrac{\theta}{2}\right)$ を
求められるというものです。

ただ，その使い道を考えると，この公式の形は不便です。

三角関数の値そのものではなく，
その２乗の値を求める式になっているからです。

①を例にすると，本来求めたいのは，
$\sin^2\dfrac{\theta}{2}$ではなく，$\sin\dfrac{\theta}{2}$の値でしょう。

ならば，公式の方も，$\sin^2\dfrac{\theta}{2}=\;$～という形ではなく，
$\sin\dfrac{\theta}{2}=\;$～という形であってほしいはずです。

$\sin^2\dfrac{\theta}{2}$ の値が得られても，それが $0$ でない限り，
$\sin\dfrac{\theta}{2}$ の値は１つに決まりません。

$\sin\dfrac{\theta}{2}$ の値を求める手段として，
それはかなり不便な点だと思います。

他の公式との比較

他の公式では，そんなことにはなっていません。
例として，２倍角の公式を見てみましょう。

２倍角の公式

\begin{align*}
\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta
\end{align*}

\begin{eqnarray*}
\cos 2\theta&=&\cos^2\theta-\sin^2\theta\\[0.4em]
&=&2\cos^2\theta-1\\[0.4em]
&=&1-2\sin^2\theta
\end{eqnarray*}

\begin{align*}
\tan 2\theta=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}
\end{align*}

これらは，$\theta$ についての三角関数の値（$\sin\theta$，$\cos\theta$，$\tan\theta$）から，
その２倍の角 $2\theta$ についての三角関数の値
（$\sin 2\theta$，$\cos 2\theta$，$\tan 2\theta$）を求める公式です。

どの公式も，$\sin^2 2\theta=$ ～のような
ややこしい形にはなっていませんね。

つまり，半角の公式は，不本意だけどしかたなく
２乗の値を求める形になっているのだと考えられます。

実は改良の余地がある？

しかし，よく調べてみると，①～③のうち１つだけですが，
２乗の値を求める形を避けられるものがあるようなのです。

それが本記事のテーマです。

この記事で追体験していただくこと

筆者はある時，三角関数の半角の公式を
図形的に導く方法を考えていたのですが，
そこで不思議なことが起きました。

$\sin\dfrac{\theta}{2}$ や $\cos\dfrac{\theta}{2}$ の公式（上記の①と②）については，
特に面白い結果が得られそうになかったので，
公式の導出を途中で打ち切ったのですが，
$\tan\dfrac{\theta}{2}$ の公式については，
上記の③とは別の形の等式が出てきたのです。

しかも，③よりもシンプルで，
公式として使いやすそうな形でです。

筆者は，結構困惑しました。

その等式は，果たして公式として使えるのか？

それとも，何らかの難点があって，
公式としては使用を控えた方がよいのか？

本記事では，この時の筆者の思考を
追体験していただきたいと考えています。ℹ️️

主な前提知識

本記事を読むのに必要となる
主な前提知識は次の通りです。

高校数学Ⅱ

三角関数２倍角の公式（$\sin 2\theta$，$\cos 2\theta$，$\tan 2\theta$）
三角関数半角の公式 $\left(\sin\dfrac{\theta}{2},\ \cos\dfrac{\theta}{2},\ \tan\dfrac{\theta}{2}\right)$

高校数学Ａ

三角形の内角の二等分線と線分の比
三角形の外角の二等分線と線分の比

高校数学Ⅰ

二重根号を外す手順

ちょっとだけネタばらし（得られた等式を公式として使えるか）

最終的に，③よりシンプルな等式が２つ得られるのですが，

片方は公式として問題なく使えそうだが，
もう片方は使いにくい

という結論になります。

本格的なネタばらし（得られる等式）

得られる等式は次の通りです。

半角の公式 $\left(\,\tan\rbfrac(\theta)(2)\,\right)$ の候補

$\tan\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$

$\tan\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{\sin\theta}$

前者は公式として使えそうですが，
後者は両辺の定義域が異なるため使いにくいという結論です。

話の展開が遠回りに感じられるかもしれませんが…

上記の問題について，
最短で結論を得るための記事を書くなら，
この記事はもっと簡潔な構成になったでしょう。

文章量も，おそらく半分以下まで
減らせたのではないかと思います。

しかし，学校の先生方が
課題学習の授業における話の流れを考案する際の
参考にしていただくのが
本記事分類の趣旨ですので，ℹ️️
実際の思考過程に近い状態で示した方が
参考になるかと思い，
遠回りな思考過程をあえて残しています。ℹ️

この点についてご了承いただければと思います。

次ページの内容

まずは，筆者が半角の公式を図形的に導こうと
思ったきっかけからお話ししていこうと思います。