三角形の合同条件は，三角形の決定条件とも言われる
中２数学で学ぶ三角形の合同条件は，
次の通りです。
２つの三角形が，次の条件のいずれかを満たすとき，
それらの三角形は合同である。
- ３組の辺がそれぞれ等しい。
- ２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。
- １組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。
これはすなわち，
１つの三角形の辺の長さや角の大きさを適切に決めると，
三角形の形が１つに決まるということでもあります。
正確には，次のようになります。
１つの三角形について，
次の条件のいずれかを満たすとき，
その三角形の他の辺の長さや角の大きさも，
それぞれ１つに決まる。
- ３つの辺の長さが決まる。
- ２つの辺の長さとその間の角の大きさが決まる。
- １つの辺の長さとその両端の角の大きさが決まる。
形が１つに決まるからこそ，
決定条件を満たすような三角形は，
誰が作図しても同じ形になるわけです。
ここに述べた，三角形の合同条件と決定条件は，
本質的には同じことです。
三角形の形がどのように決まるかは，中学数学では示されない
三角形の決定条件を満たす三角形の形は１つに決まる。
そのことは，中学数学の教科書では明示されないにしても，
中学生でも知っていると考えてよいでしょう。
しかし，最初に長さや大きさが指定されなかった辺や角が
どのように決まるかについては，
中学数学では全く触れられません。
例えば，３辺の長さが $4,\ 5,\ 6$ と決まっている三角形は，
形が１つに決まります。
つまり，その三角形の３つの角の大きさも全て決まります。
しかし，それらの角がどのような大きさになるのかは，
中学数学では扱われません。
角の大きさは決まるのに，
どのような大きさに決まるのかは分からないまま。
それは，数学としては，
何とかして解き明かしたいことであるはずです。
しかし，中学数学では手に余るので，
指を咥えて見ているしかなかったわけです。
三角比を使うと，一応の答えが得られる
高校数学ではどうかといいますと，
高校数学Ⅰで学ぶ「三角比」の公式や定理を使うことで，
その疑問に一応の答えを出すことができます。
「一応」と言ったのは，
角の大きさが度数法で（「$67^\circ$」などと）表せるわけではなく，
「その角の三角比はこのような値になる」という形で
示されるためです。
例えば，$\rm\triangle ABC$ について，
$\rm AB=4,\ BC=5,\ CA=6$ であるとき，
$\cos A=\dfrac{9}{16}$ となります。
$\rm\angle\,A$ は，$\cos A=\dfrac{9}{16}$ となるような大きさの角だという
答えが得られるわけです。
このような，間接的な答えではありますが，
中学数学では手も足も出なかった疑問ですから，
これでも大きな進歩と言えるでしょう。
考えるポイント
そこで，三角形の決定条件のそれぞれに対し，
三角比の公式や定理を使って，
残りの辺の長さや角の大きさを求める手順を
整理してほしいというのが，このテーマの課題です。
課題学習や課題研究のテーマとしては
物足りないと思う人も多いでしょうが，
このテーマについて頭の整理をしておくことは有益だと思うので，
多くの学習者に考えてほしいと思います。
最後まで読んでいただきありがとうございます。
参考になれば幸いです。