導入 テーマの概要
正多面体の種類
中1数学で学ぶように,
正多面体は5種類しかありません。
正四面体,正六面体(立方体),正八面体,
正十二面体,正二十面体の5種類です。
各多面体の頂点,面,辺の数なども含めて一覧表にすると,
次のようになります。
正四面体 | 正六面体 (立方体) | 正八面体 | 正十二面体 | 正二十面体 | |
面の形 | 正三角形 | 正方形 | 正三角形 | 正五角形 | 正三角形 |
1つの頂点に 集まる面の数 | 3 | 3 | 4 | 3 | 5 |
面の数 | 4 | 6 | 8 | 12 | 20 |
頂点の数 | 4 | 8 | 6 | 20 | 12 |
辺の数 | 6 | 12 | 12 | 30 | 30 |
正多面体がこの5種類しかないことについては,
図形的な証明もありますが,
なかなか面白い形で代数的な証明ができた(と思う)ので,
その思考を追体験していただきたいというのがこのテーマです。
このテーマについて考えるための準備
オイラーの多面体定理
その代数的な証明には,
オイラーの多面体定理を使いました。
どのような多面体についても,次の等式が成立する。
$$
(\text{面の数})+(\text{頂点の数})-(\text{辺の数})=2
$$
中学・高校の数学の学習段階で重要な定理ではありませんが,
中1数学の教科書でも軽く触れられることがあるので,
中学生や高校生でも,
この等式に見覚えのある人もいるかも知れません。
この定理に馴染みのない方は,
前出の正多面体の一覧表を使って,
この等式が成立することを確かめてみるとよいでしょう。
この課題学習のテーマでは,
この定理が成り立つことを前提にします。
正多面体の頂点や辺の数を計算する問題
中1数学としては,
学習に余裕のある人向けという扱いになるようですが,
次のような問題が出題されることがあります。
前出の一覧表を丸暗記していれば何も考えずに答えられますが,
丸暗記している人などごく少数でしょうし,
覚えていなくても計算できるという問題です。
計算のコツとしては,
正十二面体を組み立てる前の正五角形12枚を
思い浮かべることでしょう。
そして,それを組み立てて正十二面体を作るとき,
正五角形の頂点がいくつ集まって
正十二面体の頂点1つができるかを考えます。
前出の表にもあるように,
正十二面体は,1つの頂点に正五角形が3つ集まります。
つまり,正五角形の頂点3つが集まって
正十二面体の頂点1つができるわけです。
正五角形がバラバラの12枚であれば,
頂点の数は全部で $5×12=60$ 個ですが,
それらが3つずつ集まるので,
正十二面体の頂点の数は $60\div 3=20$ 個となります。
辺についても同じように考えます。
正五角形がバラバラの12枚であれば,
辺の数は全部で $5×12=60$ 本ですが,
それらが2本ずつ集まって正十二面体の辺1本になるので,
正十二面体の辺の数は $60\div 2=30$ 本となります。
文字の値が整数であることが前提の方程式
高校数学Aの,整数の性質に関する単元で,
次のような問題が出題されることがあります。
与式を次のように変形する。
\begin{eqnarray*}
xy-5x+3y-15&=&-6\\[0.4em]
(x+3)(y-5)&=&-6
\end{eqnarray*}
この等式を満たす整数 $x+3,\;y-5$ の組み合わせは次の通り。
\begin{align*}
(x+3, y-5)=&\,(-1,\;6), \ (-2,\;3),\ (-3,\;2),\ (-6,\;1),\\
&\,(1,\;-6),\ (2,\;-3),\ (3,\;-2),\ (6,\;-1)
\end{align*}
よって,この等式を満たす整数$\;x\;,\;y\;$の組み合わせは次の通り。
\begin{align*}
(x,\;y)=&\,(-4,\;11),\ (-5,\;8),\ (-6,\;7),\ (-9,\;6),\\
&\,(-2,\;-1),\ (-1,\;2),\ (0,\;3),\ (3,\;4)
\end{align*}
これだけあれば,正多面体が5種類しかないことが証明できる
上記のことが理解できていれば,
正多面体が5種類しかないことを,
方程式を使って証明することができます。
腕に覚えのある人は,
ぜひこの時点で証明に挑戦してみてほしいと思います。
次ページの内容
この問題に対する最低限のヒントを示します。