完全暗記をめぐる論争
中２数学で，三角形の合同条件を学びますね。
教科書では，次のような文で紹介されているはずです。
２つの三角形は，次のいずれかが成り立つとき，
合同である。
- ３組の辺がそれぞれ等しい。
- ２組の辺と，その間の角がそれぞれ等しい。
- １組の辺と，その両端の角がそれぞれ等しい。
教科書にある文言を正確に覚えるべきかどうかは， 先生の間でも意見が分かれる
さて，この三角形の合同条件ですが，教科書にある文言の通りに，
一字一句正確に覚えないといけないものなのでしょうか。
その点については，実は，先生の間で
意見が分かれているようなのです。
生徒に対して１字たりとも間違えずに覚えるよう指導し，
定期試験では正確に書かないと減点すると言う先生もいれば，
文言が完全に同じでなくても，
意味が同じであれば問題ないと言う先生もいるのです。
これでは学習者が迷ってしまいますね。
そこで，この件について筆者の意見を
示しておきたいと思います。
指導者側と学習者側で考え方が異なる
指導者側は，同じ意味の表現なら認めるのが妥当
まず指導者側の考え方としては，
少なくともテストの採点では，
教科書に載っているのと同じ意味にしか読めない表現は，
ＯＫとするのが適切だと思います。
そのような表現は，当然，
数学的にも間違っていないはずですから。
中学生や高校生がテストで次のような表現を使った場合，
私が採点者なら，減点対象にすることはないでしょう。
- ２組の辺の長さとその間にある角の大きさがそれぞれ等しい。
- ２組の角とその間の辺がそれぞれ等しい。
学習者側は，一字一句正確に覚えるつもりでいた方が良い
しかし，だからといって，学習者が
「その場で考えた表現を使えばよい」と考えるのは
少々危うい気がします。
教科書にある表現と同じ意味の表現を考えるのが，
それほど簡単ではないと思われるからです。
よくある間違い
前述の通り，三角形の合同条件には，
「２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」
というものがあります。
これを，「２組の辺と１組の角がそれぞれ等しい」と
言い換えてしまう間違いは，よくありそうな気がします。
なぜこの表現ではまずいのか，分かりますか。
次の図をご覧ください。
教科書でもよく取り上げられる例です。
この図は，鋭角三角形 $\rm ABC$ の辺 $\rm BC$ 上に，
$\rm AD=AC$ となるような点 $\rm D$ をとったというものです。
このとき，$\rm\triangle ABC$ と $\rm\triangle ABD$ について，
$\rm AB=AB$（共通）
$\rm AC=AD$
$\rm\angle\,ABC=\angle\,ABD$（共通）
であるので，$\rm\triangle ABC$ と $\rm\triangle ABD$ は，
２組の辺と１組の角がそれぞれ等しいと言えます。
しかし，$\rm\triangle ABC$ と $\rm\triangle ABD$ は明らかに
合同ではないですね。
このように，教科書通りでない表現を自分で考えると，
不正確な表現になる危険性があります。
ケアレスミスの原因にもなる
そうでなくとも，覚えていればすぐに書けることを
自分の頭で考える場合，
余分に思考力を使ってしまいます。
それによって，問題の解き方を考えたり，
計算を間違えないように注意したりするのに
使いたい思考力が削られて，
他のところでケアレスミスが起きることがあります。
そのため，学習者としては，
よく使う決まり文句は教科書通りに覚えてしまうのが得策だと
考えられるのです。
よくある間違い：三角形の相似条件の例
少しややこしくなってしまいますが，
ぜひ取り上げたい例があります。
三角形の合同条件と相似条件はよく似ている
中３数学で三角形の相似条件を学びますが，
三角形の合同条件と相似条件がよく似ていることは，
多くの人が感じているところでしょう。
合同条件と相似条件を，対比して並べてみます。
- 「３組の辺がそれぞれ等しい」と
「３組の辺の比がすべて等しい」 - 「２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」と
「２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい」 - 「１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」と
「２組の角がそれぞれ等しい」
今回注目してほしいのは，「３組の辺」です。
合同条件の方は「それぞれ」で，
相似条件の方は「すべて」となっていますね。
その理由は，結構難しいと思います。
もし，こうなっている理由が
はっきり分かる中学生がいるとしたら，
その人は言語感覚がかなり優れていると
言えるのではないでしょうか。
興味のある人は，その理由を考えてみてください。
「それぞれ」の意味
「それぞれ」という言葉は，なかなか難しいですよね。
ここで，イメージをはっきりさせておきましょう。
「それぞれ」は，２つ以上のものについて，
同じことを言いたいときに使われる言葉です。
例えば，次のような文章があるとします。
- 母は，姉と私に１０００円を渡した。
これだと，姉と私が２人で１０００円を受け取ったのか，
姉が１０００円，私も１０００円受け取ったのか，
分かりにくい文章になっています。
これを，次のように言い換えます。
- 母は，姉と私にそれぞれ１０００円を渡した。
これなら，姉が１０００円，私も１０００円
受け取ったことがはっきりします。
姉と私という２つのものについて，
１０００円受け取ったという同じことを言うために，
「それぞれ」という言葉を使ったわけです。
「それぞれ等しい」と「すべて等しい」の違い
「それぞれ等しい」のイメージ
「それぞれ等しい」のイメージは，次の通りです。
$\,a=b\,$，$\,c=d\,$，$\,e=f\,$
等しい値の組み合わせがいくつかあるわけですね。
これを文章で表すなら，
「$a$ と $b$，$c$ と $d$，$e$ と $f$ はそれぞれ等しい。」
のようになります。
「すべて等しい」のイメージ
これに対して，「すべて等しい」のイメージは次の通りです。
$\,a=b=c=d\,$
挙げたものすべてが，どれも同じ値ということです。
これを文章で表すなら，
「$a\,,\ b\,,\ c\,,\ d$ はすべて等しい。」
のようになります。
３組の辺に関して，合同条件が「それぞれ」，相似条件が「すべて」となっている理由
では，合同条件と相似条件の話に戻ります。
合同条件と相似条件の「３組の辺」について，
上で説明した「それぞれ」と「すべて」の
どちらに当てはまるかを見ていきましょう。
合同条件の「３組の辺」
２つの合同な三角形を $\rm\triangle ABC$ ，$\rm\triangle A'B'C'$ とし，
それぞれの辺の長さを，次の図のように
$a,\ b,\ c$ などで表します。
これらの三角形の辺の長さが
どのように等しいかと言いますと，
$\,a=a\,'\,$，$\,b=b\,'\,$，$\,c=c\,'\,$
ですね。
これは確かに，
「$a$ と $a\,'$，$b$ と $b\,'$，$c$ と $c\,'$ がそれぞれ等しい」
という状況です。
従って，合同条件の「３組の辺」は，
「３組の辺がそれぞれ等しい。」
と表すのが適切です。
相似条件の「３組の辺」
２つの相似な三角形を $\rm\triangle ABC$ ，$\rm\triangle A'B'C'$ とし，
それぞれの辺の長さを，合同のときと同じように，
$a,\ b,\ c$ などで表します。
相似条件は「３組の辺の比が～」となっています。
まず，その「３組の辺の比」とは何かを考えます。
この中の「３組の辺」は，
辺そのものではなく辺の長さを表しています。
ですから，本当は
「３組の辺の長さの比が～」と言った方が
分かりやすいと思うのですが，
教科書では，表現の短縮を優先することが多いようです。
つまり，辺の長さの組み合わせが
３つあるということになりますが，
その３つの組み合わせとは，
$a$ と $a\,'$ ，$b$ と $b\,'$ ，$c$ と $c\,'$
のことです。
そして，「３組の辺の比」とは，
$a:a\,'$ ，$b:b\,'$ ，$c:c\,'$
のことです。
これらがどのように等しいかと言いますと，
$\,a:a\,'=b:b\,'=c:c\,'\,$
ですね。
つまり，$a:a\,'$ と $b:b\,'$ と $c:c\,'$ という３つの比が
すべて等しいのです。
この状況を「それぞれ」で言い表すのは
不自然だと思います。
だから，相似条件の「３組の辺」は，
「それぞれ」ではなく，
「３組の辺の比がすべて等しい」と表すのが
適切であると言えるのです。
相似条件の正しい表現を自力で考えるのは相当難しい
この記事の本題は，
教科書に書かれた合同条件や相似条件などの文を
完全には覚えずに，自分でそのような表現を
作って使っても問題ないかということでした。
筆者は，基本的にそれは許されると思っていますが，
中学生や高校生にとっては難易度が高いため，
おすすめしにくいところです。
特に，ここで説明した相似条件の「３組の辺」について，
「それぞれ」だと意味が通らないから
「すべて」にしようと瞬時に判断できる人は，
中学生はおろか高校生でも少ない気がします。
といったこともあるので，学習者の考え方としては，
この種の決まり文句はしっかり覚えるつもりでいた方が
安心だと思います。
まとめ：よく使う決まり文句は覚えてしまった方が良い
結論としては，
三角形の合同条件や相似条件のような決まり文句は，
一字一句正確に覚えるつもりでいた方が良いと思います。
理由は次の通りです。
- 状況を正しく言い表せる表現を考えるのが，
中学生や高校生にとって簡単ではない。 - 正しい表現を考えるのに気を取られていると，
別のところでミスをしやすくなる。
その上で，試験中に正確に思い出せなくなったら
考えて書くという方針でよいのではないでしょうか。
最後まで読んでいただきありがとうございます。
参考になれば幸いです。