どこがダメなのか分かりにくい方程式の変形
よくあるクイズ
次のようなクイズを見たことがあるでしょうか。
方程式 $x-2=0$ …… ① を解く。
両辺に $x-1$ をかける。
$(x-2)(x-1)=0$ …… ②
両辺を $x-2$ でわる。
$x-1=0$ …… ③
両辺に $1$ を足す。
$x=1$ …… ④
以上より，方程式 $x-2=0$ の解は，$x=1$
この解き方はどこが間違っているのでしょうか，
というクイズです。
「普通の解き方と違うから」は答えにならない
方程式①を普通に解くなら，
両辺に $2$ を加えて $x=2$ ，となりますね。
この解き方を知っていると，
他の解き方を受け入れにくいと感じるのも
理解できることではあります。
しかし，それはこの問題に対する答えにはなりません。
数学は自由です。
基本的に，数学は正しければ何でもありです。
１つの解き方が正しいからといって，
他の解き方が正しくないと考える理由は全くありません。
考えるポイント
上のクイズについてはひとまず脇に置いて，
なぜ，これまで学んできた方程式の解き方で
方程式が解けるのかについて考えてみます。
方程式の変形の中で出てくる等式も方程式
次に示すのは，おなじみの１次方程式の解き方です。
次の方程式を解く。
$3x+6=-12$ …… ⑤
両辺から $6$ を引いて，
$3x=-18$ …… ⑥
両辺を $3$ でわって，
$x=-6$ …… ⑦
よって，解は $x=-6$
もともと解きたい方程式は⑤ですが，
それを⑥に，次いで⑦に変形しています。
その式変形で出てきた⑥も⑦も，方程式ですね。
変形の中で出てくる方程式は，解が全部同じであるはず
そして，当然のことですが，
⑤～⑦の方程式は，解が完全に同じでなければいけません。
それはそうですよね。
それが保証されているからこそ，
⑦を見て，それが方程式⑤の解だと
すぐに判断できるのです。
このように，方程式を変形するときは，
途中で出てくる方程式がもとの方程式と
同じ解を持つようにするのが基本です。
方程式の同値変形
この例では，⑤から⑥，⑥から⑦と，
２回の式変形がありました。
そして，それらはどちらも，
方程式の解を変化させない式変形でした。
実は，このような式変形には名前があって，
「同値変形」と呼ばれています。
高校数学の教科書にもほとんど載らない用語ですが，
このテーマについて考えるには便利なので，
この記事ではこの用語を使いたいと思います。
クイズ内の式変形は，解が増えたり減ったりしていることがまずい
クイズで紹介した式変形のまずい点は，
方程式を変形する間に，
解が増えたり減ったりしていることです。
もともと解きたい方程式は①ですが，
それを②，③，④と次々に変形しています。
当然，方程式①，②，③，④は，
解が同一でなければなりません。
しかし，実際にはそうなっていませんね。
方程式①を普通に解けば $x=2$ ですが，
方程式②は２次方程式になっていて，
解は $x=1,\ 2$ です。
そして，③の解は $x=1$ です。
教科書で教えている方程式の変形
中１数学の教科書では，等式の性質として，
次のようなことが書かれているはずです。
- $A=B$ のとき，$A+C=B+C$ が成り立つ。
- $A=B$ のとき，$A-C=B-C$ が成り立つ。
- $A=B$ のとき，$AC=BC$ が成り立つ。
- $A=B$ のとき，$\dfrac{A}{C}=\dfrac{B}{C}$ が成り立つ。（ただし，$C$$\,\neq\,$$0$）
そして，これらの性質を利用して，
方程式を変形しましょうと教えています。
この中に，同値変形でない式変形がある
しかし，ここに挙げた性質に当てはまる式変形の中で，
同値変形でない式変形があるのです。
それはどのような式変形のことか，分かるでしょうか。
すぐに答えを書いてしまいますが，
「$A=B$ のとき，$AC=BC$ が成り立つ」に落とし穴があります。
もちろん，同じ数 $C$ を両辺にかけても
等号が成立するというこの性質は，
$A,\ B,\ C$ の値が何であっても成り立ちます。
ただし，その式変形は，$C=0$ であるときは，
同値変形ではありません。
例えば，$x-2=0$ という等式は，
$x=2$ のときにしか等号が成立しませんが，
両辺に $0$ をかけると，$0=0$ になります。
$0=0$ は，$x$ の値によらず成立する等式ですから，
これを無理やり方程式と考えて解を述べるなら，
「$x$ は任意の数（どんな数でもよい）」となります。
つまり，解が変化してしまったことになり，
同値変形ではないと言えるのです。
方程式を解くときに，
こんな式変形を試す人はいないので，
教科書ではわざわざ指摘しないだけです。
$\;0\;$に等しい可能性がある式を両辺にかける変形は，同値変形ではない
さて，最初に出したクイズでは，
$x-2=0$ …… ① の両辺に $x-1$ をかけて，
$(x-2)(x-1)=0$ …… ② に変形しています。
$x-1$ は，$x$ の値次第で $0$ になる可能性がある式です。
そのため，「両辺に $x-1$ をかける」という式変形は，
同値変形ではありません。
実際，①と②には，次のような違いが生じています。
- ①は，$x-2$ が $0$ に等しいときだけ
等号が成り立つ等式である。 - ②は，$x-2$ が $0$ に等しくなくても，
$x-1$ が $0$ に等しければ
等号が成り立つ等式である。
つまり，①と②で，等号が成り立つための条件が
変わってしまっているのです。
従って，このような式変形は，
方程式の解法としては使えません。
実際に間違えそうな例
とは言っても，$x-2=0$ の両辺に
$x$ の式をかける人なんてまずいないし，
意識していなくても問題ないのでは，
と思う人もいるでしょう。
それは，そうでもありません。
次の例題をご覧ください。
方程式 $\dfrac{x^2+4x}{x^2+3x-18}=\dfrac{5x+6}{x^2+3x-18}$ を解きなさい。
この例題は，何の説明もなく出されたら，
引っかかる人がかなりいると思います。
両辺に $x^2+3x-18$ をかけて，
$x^2+4x=5x+6$
整理すると，
$x^2-x-6=0$
$(x+2)(x-3)=0$
よって，解は $x=-2,\ 3$
これではだめです。
もとの方程式に，$x=3$ は代入できないからです。
従って，この例題に対する正しい答えは，
「$x=-2$」となります。
このようなことが起きてしまった原因は，
「両辺に $x^2+3x-18$ をかける」が
同値変形でないことです。
$x$ の値次第で $0$ になる可能性がある
$x^2+3x-18$ を両辺にかけたため，
もとの方程式と解が一致しない方程式が
出てきてしまったわけです。
検討したい式変形
次の変形は，いずれも，
等号が成り立つ等式に対して行えば，
等号が成り立つ別の等式を作ることができる式変形です。
- 両辺に同じ文字式を足す
- 両辺から同じ文字式を引く
- 両辺に同じ文字式をかける
- 両辺を同じ文字式でわる
- 両辺を２乗する
- 両辺の逆数をとる
他にも考えられますが，
ひとまずこれらに当てはまる式変形のうち，
同値変形でないものを探してみてください。
さらに，次のようなことを同時に考えてみるとよいでしょう。
- 同値変形になる式変形とならない式変形の区別のしかた
- 実際に方程式の解が変わってしまう例
- 方程式を解くときに
間違えないようにするための対策 - 連立方程式に対する考え方
注意点
中学生にとっては少し難しいテーマ
このテーマは，中学生が解明を目指すには
少し難しいと思います。
中学生の自由研究としては，
一見すると問題のない方程式の変形なのに，
途中で解が変わってしまうような例を
できるだけたくさん見つけるといった方針でも
十分でしょう。
そして，見つかった例について，
解が変わってしまう理由を説明できると
なお良いと思います。
数学の得意な高校生なら，しっかり解明することも可能
数学の得意な高校生なら，どのような法則で
解が消えたり生じたりしてしまうのかまで
迫れると思います。
しかし，網羅的な解明にこだわって
時間をかけすぎるのも良くないので，
無理をする必要はありません。
ただ，同値変形とそうでない変形の区別がついていると，
今後様々な方程式を解く上で役に立つことがあるので，
できる範囲で頑張る価値はあると思います。
最後まで読んでいただきありがとうございます。
参考になれば幸いです。