前ページまでのあらすじ
$a+\dfrac{1}{a}$ の値を与え，それをもとにして
$a^2+\dfrac{1}{a^2}$ の値を求めさせる問題を出す際に
注意すべき点について考えてきました。
以上の考察では，主に次の２点に注目しました。
- $a+\dfrac{1}{a}$ に設定する値を実現する
$a$ の値が存在するようにする。
（もし存在しなければ，学習者を惑わす悪問になる。） - 別の解き方が簡単にならないようにすることで，
本来の解き方を学んでもらえる確率を高める。
まとめ
答案に対する評価基準
以上を踏まえて，この入社試験問題への答案としては，
次のような点が適切に指摘されていれば，
高い評価になることを想定しています。
- 解説の「よって，」の後の式変形において，
第３辺の「$-1^2-2$」は，「$(-1)^2-2$」と表記するべき。 - $a+\dfrac{1}{a}=-1$ を満たす実数 $a$ は存在しない。
すなわち，この問題は実現しえない前提条件を
設定してしまっている。
それが原因で，
必ず正の数になるはずの $a^2+\dfrac{1}{a^2}$ の値が
$-1$ になるという矛盾も生じている。 - 前項の状況を解消するには，
$a+\dfrac{1}{a}$ の値を $2$ 以上に変更すればよい。
$a>0$ という条件を外した上で，
$a+\dfrac{1}{a}$ の値を $-2$ 以下に変更してもよい。
（その結論に至る理由の説明も必要。） - $a+\dfrac{1}{a}$ の値を $b$ と設定するとして，
$a+\dfrac{1}{a}=b$ から得られる $a$ の２次方程式
$a^2-b\,a+1=0$ の解がシンプルにならないように注意する。
その解がシンプルだと，それを $a^2+\dfrac{1}{a^2}$ に代入することで
容易に正解が得られてしまう。
合格ライン
入社試験という性格上，人手不足の時は合格ラインが下がり，
そうでないときは合格ラインが上がるので，
これ以上なら合格という明確なラインが
あるわけではありません。
ただ，この問題の場合は，(2) を指摘した上で，
(3) のような修正方法を示し，
その修正で矛盾が解消されると言える理由を
適切に記すことが，
数学の教材制作担当者，
特に作問や校閲の担当者を志望される方としては
最低限かと考えています。
最後まで読んでいただきありがとうございます。
参考になれば幸いです。