前ページまでのあらすじ
$a+\dfrac{1}{a}$ の値を与え，それをもとにして
$a^2+\dfrac{1}{a^2}$ の値を求めさせる問題を出す際に
注意すべき点について考えています。
$a+\dfrac{1}{a}$ の値は，$-2$ 以下または $2$ 以上に設定すれば，
その値を実現する実数 $a$ の値が存在することが分かりました。
従って，この問題を教材に載せるにあたり，
$a+\dfrac{1}{a}$ に設定する値は，
$-2$ 以下または $2$ 以上であれば何でもよい…
ということでよいのでしょうか。
別の解き方に注意
くり返しになりますが，
$a$ を実数とするとき，$a+\dfrac{1}{a}$ のとりうる値の範囲は，
$-2$ 以下または $2$ 以上です。
しかし，$2$ 以上であれば矛盾はないのだからと言って，
$a+\dfrac{1}{a}=2$ として出題するのでは，
油断が過ぎると言わざるをえません。
多くの学習者が気づくと思われるからです。
そのことに気づけば，$a^2+\dfrac{1}{a^2}$ に $a=1$ を代入することで
正解が得られてしまいます。
つまり，本来の解き方を理解しないまま
この問題を通過される危険性があるわけです。
さらに言うなら，$a=1$ で $a+\dfrac{1}{a}=2$ が成り立つことに
直接気づくわけではなくとも，
次のような解き方で切り抜けられる可能性があります。
$a+\dfrac{1}{a}=2$ の両辺に $a$ をかけて整理すると，
２次方程式 $a^2-2a+1=0$ が得られる。
これを解くと，$(a-1)^2=0$ より，$a=1$
$a=1$ を $a^2+\dfrac{1}{a^2}$ に代入すると，
$a^2+\dfrac{1}{a^2}=1^2+\dfrac{1}{1^2}=2$
仮に，記述式でこのような答案を書かれたとしても，
減点するわけにはいかないでしょう。
この解き方がある以上，
$a$ がシンプルな値にならないようにする必要があります。
この解き方を完全に防ぐことはできませんが，
この解き方を採用すると苦労するようにしておくのです。
例えば，$a+\dfrac{1}{a}=3$ として出題した場合，
２次方程式を作って解くと，
解として $a=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}$ が得られます。
この２つの解のうちどちらかを $a^2+\dfrac{1}{a^2}$ に
代入して計算するのは，結構な手間です。
多少は工夫の余地があるにしろ，
なかなかの計算量になるのは避けられないでしょう。
仮に学習者がそれで正解を得たとしても，
「こんな面倒な解法しかないのだろうか」などと考え，
解答解説を読む気になる可能性が高まると考えられます。
次ページの内容
まとめとして，以上の考察を踏まえ，
この入社試験問題の答案に対する評価基準を示します。