前ページまでのあらすじ
$a+\dfrac{1}{a}$ の値を使って $a^2+\dfrac{1}{a^2}$ の値を求める問題で，
$a$ が実数であることを前提とするなら，
$a+\dfrac{1}{a}=-1$ と設定してはいけないことを指摘しました。
そこで， $a+\dfrac{1}{a}$ に設定する値を
どのように設定すれば問題ないのかについて
考えていきます。
解決策の候補
入社試験問題としては，
「手直しするならなるべく問題の趣旨を変えずに」
との指示があります。
それに沿うなら，修正案は次の２つのいずれかに
なるのではないかと思います。
- 修正案１：$a+\dfrac{1}{a}$ の値を変更する。
- 修正案２：$a+\dfrac{1}{a}=-1\;$ではなく，$a-\dfrac{1}{a}=-1\;$とする。
修正案２もなかなかのアイデア
修正案１を検討する人が多そうですが，
修正案２も悪くないアイデアだと思います。
$a+\dfrac{1}{a}$ に代えて $a-\dfrac{1}{a}$ の値を設定しても，
この問題は全く同じ解き方で解けますし，
$a-\dfrac{1}{a}=-1$ を満たす実数 $a$ は存在するので矛盾は生じません。
入社試験の答案としてこの修正案を提示してきた場合でも，
この案が解決策になる理由が適切に併記されていれば，
高く評価するのが妥当かと思います。
ただ，修正案２は，本問の修正案としては
ややひねった案です。
また，どちらかというと，本問をそのように直すよりは，
$a+\dfrac{1}{a}$ でも $a-\dfrac{1}{a}$ でも
解き方はほとんど同じであることを学習者に知ってもらうため，
類題として別に出題したい気もします。
といったこともあり，
ここでは修正案１について論じたいと思います。
考察２：$\;a+\dfrac{1}{a}\;$の値を変更する。
最も安易な案：$\;a+\dfrac{1}{a}\;$の値を$\;-1\;$から$\;1\;$に変更する。
修正案１を採用するとして，
$\;a+\dfrac{1}{a}\;$にどのような値を設定すればよいかを考えます。
前ページに，この問題と解説について，
不自然な点が２つあると述べました。
- 問題文に $a>0$，$a+\dfrac{1}{a}=-1$ とあるが，
$a>0$ のとき，$\dfrac{1}{a}>0$ であるから，
$a+\dfrac{1}{a}>0$ となるはず。
つまり，問題文の前提条件は成立しえない。 - 結論が $a^2+\dfrac{1}{a^2}=-1$ となっているが，
$a$ が $0$ でない実数であるなら，
$a^2>0$，$\dfrac{1}{a^2}>0$ より，$a^2+\dfrac{1}{a^2}>0$ となるはず。
つまり，$\boldsymbol{a^2+\dfrac{1}{a^2}}$ の値が $-1$ であるはずがない。
上記の (A) が頭にちらついていると，
$a>0$ より $a+\dfrac{1}{a}>0$ だからということで，
$a+\dfrac{1}{a}$ の値を $1$ に変更してはどうかと思ってしまいそうですが， これはだめですね。
\begin{equation*}
a^2+\dfrac{1}{a^2}=\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2-2
\end{equation*}
この式を見ると，$a+\dfrac{1}{a}$ の値を $-1$ から $1$ に変更しても，
$\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2$は $1$ のままで変化しないため，
この変更は $a^2+\dfrac{1}{a^2}$ の値に
影響を与えられないことが分かります。
すなわち，上記の (B) がそのまま残るので無意味です。
適当に値を設定するのは時に危険なことも
上の例に見るように，適当に値を設定して，
それで問題ないかと検討するのは
非効率であることが多いです。
問題点が発見された場合，
再び値を設定しなければなりませんから。
しかし，問題点が発見できればまだよいです。
矛盾しているにもかかわらず，それを発見できなければ，
矛盾をそのまま残してしまいます。
学習者をいたずらに混乱させ，
悩ませる原因を作ってしまうのです。
次の例をご覧ください。
矛盾に気づきにくい案
例えば，$a+\dfrac{1}{a}=\dfrac{\sqrt{15}}{2}$ と設定したとします。
このとき，$a^2+\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{7}{4}$ です。
いかがでしょうか。
この案に対し，矛盾を発見できるでしょうか。
矛盾に気づかず見逃してしまう人も
多いのではないかと思います。
以下，矛盾を示す方法の一例を挙げます。
$a^2>0$ ，$\rbdfrac(1)(a^2)>0$ であることから，
相加相乗平均の不等式より，
\begin{equation*}
a^2+\dfrac{1}{a^2}\geqq 2\sqrt{a^2\cdot \dfrac{1}{a^2}}=2
\end{equation*}
つまり，$a^2+\dfrac{1}{a^2}$ は必ず $2$ 以上になるはずです。
しかし，$\dfrac{7}{4}$ は $2$ より小さい数です。
従って，$a+\dfrac{1}{a}=\dfrac{\sqrt{15}}{2}$ という設定も適切ではありません。
このように，矛盾点の発見が必ずしも
容易でないこともあります。
矛盾点が見つからなければＯＫという方針はやはり危険です。
矛盾がないことを証明するくらいのつもりでなければいけません。
作問者側は $\raise{0.5pt}{a}$ の値を意識しなければならない
この問題の趣旨は，$a+\dfrac{1}{a}$ の値が分かっていれば，
$a$ の値は分からないままでも，
少し工夫して計算することで $a^2+\dfrac{1}{a^2}$ の値が
得られるところにあります。
つまり，この問題を解くだけなら，
$a$ の値を意識する必要はありません。
しかし，問題の前提条件を満たす実数 $a$ が存在しない場合，
ありえない結論が導き出され，
学習者を混乱に陥れる可能性のある悪問になります。
つまり，作問者側は，$a$ の値を意識する必要があります。
数学的な検討
今考えるべきことは，$a+\dfrac{1}{a}$ に
どのような値を設定すれば矛盾しないかということです。
その点について，数学的に検討をしていきます。
まず，設定する値を $b$ とおきます。
つまり，$a+\dfrac{1}{a}=b$ です。
既に述べたように，$b$ の値次第では，
この式を満たす実数 $a$ が存在しなくなり，
それが矛盾の原因になります。
その矛盾を回避するには，
$a+\dfrac{1}{a}=b$ を満たすような実数 $a$ が存在するように
$b$ の値を決める必要があります。
要するに，次の問題を解くことになるわけです。
$a$，$b$を実数とする。
$a+\dfrac{1}{a}=b$ …… ② を $a$ についての方程式と見たとき，
この方程式が実数解を持つような定数 $b$ の範囲を求めなさい。
この例題については，代表的な解き方は
次の２通りになるかと思います。
- ②の両辺に $a$ をかけて整理すると，
$a^2-b\,a+1=0$ …… ③ となる。
これを $a$ についての２次方程式と見て，
実数解が存在するための条件を考える。 - $b$ が $a$ の関数であることに着目し，
$a$ の関数 $f(a)$ を $f(a)=a+\dfrac{1}{a}$ で定義して，
関数の増減を調べる。
それぞれの方法で検討してみます。
(A) による略解
(A) の方針を採るなら，
例題２は次のように解けます。
２次方程式③の判別式を $D$ とすると，$D=b^2-4$
２次方程式③が実数解を持つための条件は，$D\geqq 0$
すなわち，$b^2-4\geqq 0$
これを解くと，$b\leqq -2$，$2\leqq b$
(B) による略解
(B) の方針を採るなら，次のようになります。
$a$ の関数 $f(a)=a+\dfrac{1}{a}$ の導関数を $f'(a)$ とすると，
\begin{equation*}
f'(a)=1-\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{(a-1)(a+1)}{a^2}
\end{equation*}
$f(a)$ の増減表は次のようになる。
| $a$ | $(-\infty)$ | $\cdots$ | $-1$ | $\cdots$ | $0$ | $\cdots$ | $1$ | $\cdots$ | $(+\infty)$ |
| $f'(a)$ | × | $+$ | $0$ | $-$ | × | $-$ | $0$ | $+$ | × |
| $f(a)$ | $(-\infty)$ | ↗ | $-2$ | ↘ | $-\infty$ | $+\infty$ | ↘ | $2$ | ↗ | $(+\infty)$ |
$f(a)$ は，$a<0$ および $a>0$ の範囲において連続であるから，
$f(a)$ は $-2$ 以下の任意の値と，
$2$ 以上の任意の値をとることができる。
この方法の良いところは，
$a$ の範囲に少々凝った制限が付いていても，
$b$ の範囲を知るのに支障がない点です。
例えば，何らかの事情で，
問題に $a\geqq\dfrac{1}{2}$ という条件を付ける必要が
あるとしましょう。
その場合，方針 (A) だけでは，
$b$ の値の範囲を求めるのは難しいと思います。
しかし，方針(B)では，上に示した増減表を利用することで
簡単に解決します。
$a$ の値を $\dfrac{1}{2}$ から大きくしていくと，
$b$ の値（$=f(a)$ の値）は $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{5}{2}$ から徐々に減少し，$a=1$ のとき極小値 $2$ をとって，
そこからは単調増加で正の無限大に近づきます。
このことから，$b$ の値として実現可能な範囲は
$b\geqq 2$ であることが容易に分かります。
といったことがあるので，
方針 (B) の方がより汎用性があるとは言えるでしょう。
もっとも，この入社試験問題の答案としては，
(A) の方針で書かれていても問題ありません。
次ページの内容
$a+\dfrac{1}{a}$ の値は，$-2$ 以下または $2$ 以上に設定すれば，
その値を実現する実数 $a$ の値が存在することが分かりました。
では，（$\,a>0$ という条件を外した場合，）
$a+\dfrac{1}{a}$ に設定する値は，
$-2$ 以下または $2$ 以上であれば
何でもよいのでしょうか。
次ページでは，その点について考えます。