前ページのあらすじ
前ページでは，高校数学Ⅰの式の値に関する問題と解説を提示し，
手直しすべき点がないかを検討していただくという
入社試験の案を示しました。
本格的な検討の前に
解くのは簡単だが，作問するとなると油断できない
前ページで題材として示したのは，
高校数学の序盤でよく見られるタイプの易しい問題です。
高校時代に数学を苦手としていなかった人ならば，
解くのに苦労するような問題ではないでしょう。
しかし，作問するとなると，注意すべき点が結構あり，
油断できない問題です。
問題・解説再掲
前ページで掲出した問題・解説例は次の通りです。
$a>0,\ a+\dfrac{1}{a}=-1$ であるとき，$a^2+\dfrac{1}{a^2}=\ $
\begin{eqnarray*}
\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2&=&a^2+2 \cdot a \cdot \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^2}\\[0.4em]
&=&a^2+\dfrac{1}{a^2}+2
\end{eqnarray*}
仮定より，$a+\dfrac{1}{a}=-1$ であるから，
\begin{eqnarray*}
a^2+\dfrac{1}{a^2}&=&\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2-2\\[0.4em]
&=&-1^2-2\\[0.4em]
&=&-1
\end{eqnarray*}
それでは，検討を開始しましょう。
明らかな誤記
内容を検討する前に，解説文に明らかな誤りがありますね。
もちろん，教材に誤りが残っていてはいけませんので，
訂正しておきます。
「仮定より，～」の後の式変形において，
第３辺の「$-1^2-2$」は，「$\boldsymbol{(-1)^2-2}$」と表記するべき。
理由は説明不要でしょう。
誤記の訂正だけでよいか
では，誤りを正した問題文と解説文を改めて見てみます。
$a>0,\ a+\dfrac{1}{a}=-1$ であるとき，$a^2+\dfrac{1}{a^2}=\ $
\begin{eqnarray*}
\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2&=&a^2+2 \cdot a \cdot \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^2}\\[0.4em]
&=&a^2+\dfrac{1}{a^2}+2
\end{eqnarray*}
仮定より，$a+\dfrac{1}{a}=-1$ であるから，
\begin{eqnarray*}
a^2+\dfrac{1}{a^2}&=&\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2-2\\[0.4em]
&=&(-1)^2-2\\[0.4em]
&=&-1
\end{eqnarray*}
これで，誤記や計算ミスなどの明らかな誤りはなくなりましたが，
このまま教材に載せてよいのかどうか。
その検討過程の一例を，以下に示していきます。
前提条件の矛盾
不自然な点
はじめに，この問題文と解説文について，
不自然だと思っていただきたい点が２つあります。
- 問題文に $a>0$，$a+\dfrac{1}{a}=-1$ とあるが，
$a>0$ のとき，$\dfrac{1}{a}>0$ であるから，
$a+\dfrac{1}{a}>0$ となるはず。
つまり，問題文の前提条件は成立しえない。 - 結論が $a^2+\dfrac{1}{a^2}=-1$ となっているが，
$a$ が $0$ でない実数であるなら，
$a^2>0$，$\dfrac{1}{a^2}>0$ より，$a^2+\dfrac{1}{a^2}>0$ となるはず。
つまり，$\boldsymbol{a^2+\dfrac{1}{a^2}}$ の値が $-1$ であるはずがない。
これだけ不自然な点があるなら，
そのまま出題するのはまず不可とするところです。
そこで，これらの不自然さを解消するための策を
探っていきます。
次ページの内容
次ページでは，本格的な検討に入ります。
その中で，安易で無意味な解決策に陥る例も取り上げます。